Função exponencial: o que é e como fazer o cálculo?

função exponencial

Uma função exponencial pode ser definida como aquela em que uma das variáveis está presente no expoente de uma potência, cuja base é maior que zero e diferente de 1. Ela serve para expressar crescimento ou decrescimento exponencial, com aplicações na Matemática Financeira, na Biologia e na Química. 

Para quem está preocupado com o que cai no Enem, é importante saber que a função exponencial pode aparecer não só na prova de Matemática como também em outros conteúdos. Neste artigo, vamos destrinchar melhor essa matéria e explicar como dominá-la. Bons estudos!

O que é função exponencial?

A função exponencial é uma das funções matemáticas cobradas na prova de Matemática e suas Tecnologias do Enem, ou seja, uma relação matemática entre duas variáveis. No caso da função exponencial, uma dessas variáveis será o expoente de uma potência, com uma base maior que zero e diferente de 1.

A definição geral da função exponencial então é expressa como: 

f: R→R tal que f(x) = ax, em que a > 0 e a ≠ 1.

Para entender melhor esse conteúdo, é recomendável conhecer outras funções matemáticas mais simples, como a equação de 1º grau e a de 2º grau, além de, claro, domínio de potenciação, também chamada de exponenciação.

A potenciação é uma operação matemática básica que envolve dois números, a base e o exponente. Ela é utilizada para expressar multiplicações com fatores iguais: 3 × 3 × 3, por exemplo, pode ser representado como 33, enquanto 3 × 3 × 3 × 3 × 3 seria 35. Na prática, é especialmente útil para representar números muito grandes ou muito pequenos.

Na função exponencial, a ideia é expressar o crescimento ou o decrescimento exponencial. Um exemplo clássico disso é o aumento do número de bactérias em uma cultura, que usualmente duplica a cada período de tempo.

Logo, no conteúdo que cai no Enem e em provas de vestibulares, é comum haver perguntas como: “O número de bactérias em uma cultura sob condições ideais duplica a cada hora. Se às 8h havia 6 bactérias, quantas serão ao meio-dia?”.

Para solucionar essa pergunta, basta entender que às 8h, são 6 bactérias. Às 9h, já são 12. Às 10h, 24. Às 11h, 48 e, finalmente, às 12h, 96. Mas, em vez de ir dobrando valor manualmente, é possível expressar com uma função exponencial que o número de bactérias será 6×24. 

Nessa expressão, 6 é o número inicial de bactérias, que é multiplicado pelo número 2 a cada hora, ou seja, dobra de valor. E o valor 4 sobrescrito, que é o expoente da função, é a quantidade de horas em que esse número será dobrado.

Quais são as características básicas da função exponencial?

Existem algumas condicionantes fundamentais que precisam ser compreendidas sobre as funções exponenciais. Nelas, o valor da base da potência nunca pode ser negativo, porque isso impediria a formação de números reais com expoentes fracionários. Também não pode ser igual a 0, pois o resultado sempre seria 0. 

Por fim, a base também não pode ser igual a 1, já que qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo. Uma outra forma de explicar isso é dizer que na função exponencial, a base da potência sempre será um número real positivo diferente de 1.

O gráfico de uma função exponencial sempre fica acima do eixo X, independentemente se ela é crescente ou decrescente, isto é, fica nos quadrantes I e II do plano cartesiano. 

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Caso a base da potência, que é o número a em f(x) = ax, seja um número maior que 1, a função exponencial será crescente: o valor de f(x) aumenta proporcionalmente à medida que o valor de x é maior. O exemplo da multiplicação de bactérias é uma função exponencial crescente.

quando o valor da base for um número entre 0 e 1, algo curioso acontece: a medida que x aumenta, o valor de f(x) será reduzido. Com isso a função exponencial será decrescente, ou seja, o gráfico será uma curva que tende a 0 no eixo y.

Qual é a relação entre a função exponencial e a logarítmica?

A função logarítmica é a função inversa da função exponencial, o que significa que os gráficos dessas duas funções são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares — a reta que forma ângulo de 45º com os eixos X e Y quando corta o centro exato do plano cartesiano, passando pelos quadrantes I e III.

Para entender melhor essa relação, é preciso saber tanto sobre potenciação e funções exponenciais como também como funciona a função logarítmica e, naturalmente, o que é um logaritmo. Mas a conexão entre os dois temas faz com que o estudo das funções exponenciais funcione como uma ótima introdução para as funções logarítmicas.

Um logaritmo de um número é o expoente pelo qual deve se elevar uma base para chegar até este número. Parece complicado, mas não é: se 102 é igual a 100, 2 é o logaritmo de 100 na base 10. Então, se 102 = 100, log10100 = 2.

Assim como a função exponencial, a função logarítmica também é aplicada em diversas outras áreas, incluindo múltiplas especializações da Biologia e até em algumas teorias sobre a propagação de informação na comunicação.  

Como a função exponencial é cobrada no Enem?

A função exponencial é um conteúdo que será útil para a vida e facilitará a compreensão de fenômenos que vão desde a curva de contaminação do coronavírus até o aumento exponencial de uma dívida reajustada por juros compostos.

Além disso, a função exponencial também faz parte das matérias para estudar no Enem e é quase certo que estará presente no exame. Além da prova de Matemática e suas Tecnologias, aplicações mais básicas podem aparecer em outras áreas, em especial na parte de Biologia, usualmente com contextos que envolvem a multiplicação de bactérias em um cultura ou até de insetos em um lago.

Outro tipo de pergunta que envolve funções exponenciais que pode aparecer é algo envolvendo Matemática Financeira e juros, como: “Se uma pessoa faz uma dívida de R$ 100,00 no cheque especial, qual será o valor reajustado que ela pagará após 6 meses de juros de 8% ao mês?”

Para encontrar a solução, ou o montante final M, a função será M=D × (1+j)t. Considerando que D representa a dívida inicial, j o valor dos juros e t o tempo que passou, ela ficará assim: M=100 × (1+0,08)6, o que resultará em M=100 × 1,586874322944, logo, M=158,6874322944. Ao fim do período, a pessoa deverá R$ 158,6874322944 no cheque especial.

Para mandar bem na prova, é fundamental resolver exercícios, dando especial atenção aos conteúdos que você tem mais dificuldades. A nossa dica é para que você acesse o Trilha do Enem, uma plataforma com videoaulas dos melhores professores das áreas e que aponta quais temas você precisa reforçar no seu plano de estudos.

Fique de olho no que vem por aí!

Para quem está se preparando para os vestibulares e para o Enem, saber funções exponenciais é requisito obrigatório. Mas agora que você relembrou o conteúdo aqui, vai ficar mais fácil incluir o tema no seu cronograma, não é?

Por falar nisso, aproveite o embalo para ler mais sobre as expectativas do Enem 2021!

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