MMC e MDC são conceitos bem básicos da Matemática. Aprendemos logo nos primeiros anos de escola, pois são fundamentais para o desenvolvimento do pensamento lógico que será necessário para a compreensão de outras matérias que virão adiante, como as funções matemáticas e a Geometria Espacial.
Mas, apesar de relativamente simples e fáceis, MMC e MDC podem te pegar de surpresa no Enem, afinal, depois de tanto tempo, pode ser que você não se lembre exatamente a forma mais rápida e simples de descobrir esses números, não é mesmo?
Pensando nisso, neste artigo vamos explicar melhor o que é e para que serve MMC e MDC, além de esclarecer como calcular os dois e quais são suas aplicações! Bons estudos!
O que são números múltiplos e números divisores?
Quem está estudando Matemática para o Enem precisa compreender a lógica por trás dos cálculos também. E, para entender melhor tanto o MMC como o MDC, é importante conhecer os conceitos de número divisor e número múltiplo.
Quando um número inteiro pode ser dividido por outro para se chegar em outro número inteiro, ele pode ser chamado de divisor. O número 4, por exemplo, pode ser dividido por 1,2 e 4 em operações que resultam em números inteiros, portanto, 1,2 e 4 são os divisores de 4.
Já os números múltiplos são os números inteiros que resultam da multiplicação de um número inteiro por qualquer outro. Se o número 4 for multiplicado por 2, por exemplo, resulta em 8. E se a multiplicação for 4 × 8, o resultado será 32. Portanto, 8 e 32 são múltiplos de 4, além de tantos outros números como 12, 16, 20 e 24.
Na verdade, o número de múltiplos de um número inteiro sempre será um infinito potencial, já que é possível multiplicar indefinidamente. Já o número de divisores é sempre um número real, pois ele só pode ser dividido por alguns números.
No caso dos números primos, eles só são divisíveis por eles mesmos e por 1, mas ainda podem ser multiplicados indefinidamente.
O que é o MMC?
MMC é o Mínimo Múltiplo Comum, o menor múltiplo inteiro positivo compartilhado por dois ou mais números inteiros. O MMC de 6 e 18, por exemplo, é 36, que pode ser dividido por 6 e 18 para resultar em 6 e 2, respectivamente. A denotação para isso é: MMC 6, 18 = 36.
Além da sua importância para a compreensão de fórmulas e funções matemáticas mais complexas que são utilizadas para diversos propósitos e cobradas no Enem, o conhecimento e a técnica do MMC também pode ser aplicado na prática em diversos momentos.
A soma de frações com denominadores diferentes é uma dessas finalidades e muitas vezes a primeira a ser ensinada aos alunos do fundamental quando o conceito de MMC é introduzido. Para somar ½ + ⅔ +¾, por exemplo, é preciso encontrar o MMC dos denominadores 2, 3 e 4 (que é 12) e multiplicar os numeradores 1, 2 e 3 pelo quociente do MMC e do denominador de cada fração.
Nesse caso, 1, 2 e 3 multiplicados por 6, 4 e 3 geram os produtos 6, 8 e 9, que estarão sobre o denominador comum de 12: 6/12, 8/12 e 9/12. Para encontrar a soma, basta somar os numeradores e descobrir que o resultado da soma das frações será 23/12.
Nas provas de Matemática e suas Tecnologias do Enem, é comum encontrar o conceito de MMC em questões que pedem para encontrar números coincidentes em progressões aritméticas, por exemplo: “quatro lebres disputam uma corrida um circuito circular. A mais veloz completa uma volta em 8 segundos, a segunda em 10 segundos, a terceira em 15 segundos, e quarta em 40 segundos. Quantas voltas cada uma delas terá completado quando todas se reencontrarem na linha de largada?”
Para solucionar essa questão, primeiro é preciso descobrir o MMC de 8, 10, 15 e 40, que é 120 (mais adiante, vamos relembrar como podemos encontrar o MMC com facilidade). Depois disso, basta dividir 120 por 8, 10, 15 e 40 para saber que as lebres se reencontram quando a primeira tiver completado 15 voltas, a segunda 12, a terceira 8, e a quarta 3.
Calcular o MMC é muito simples e pode ser feito de algumas formas diferentes. Mas antes de detalhar, vale a pena relembrar também o conceito de MDC.
O que é o MDC?
MDC é o Máximo Divisor Comum, o maior divisor inteiro capaz de dividir dois ou mais números naturais simultaneamente. O MDC de 20, 10 e 4, por exemplo, é 2. A denotação para isso é: MDC 20, 14, 4 = 2.
Encontrar o MDC é algo útil sempre que for preciso fazer divisões de números diferentes que resultem em partes iguais. Se um fabricante de tecidos, por exemplo, quer dividir 3 panos de 20, 16 e 12 metros em partes menores de tamanho igual que sejam as maiores possíveis, ele pode descobrir o MDC de 4 entre os três comprimentos e cortar a primeira peça em 5 partes iguais, a segunda em 4 e a terceira em 3, resultando em 12 partes de 4 metros.
Questões que partem de raciocínios similares são comuns no Enem e em provas de Matemática de outros vestibulares. Além disso, em muitas carreiras, problemas do tipo serão cotidianos no trabalho e, até mesmo, fora dele.
Como calcular simultaneamente MMC e MDC?
Existem inúmeras formas de calcular o MMC entre vários números. A mais básica delas é estabelecendo progressões aritméticas listando os múltiplos de cada um dos números e achar o elemento comum mais baixo. Para achar o MMC de 4 e 9, por exemplo:
- Múltiplos de 4 — 4, 8,12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44…
- Múltiplos de 9 — 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90…
Percorrendo as séries, é fácil descobrir que o número em comum é 36, o MMC e 4 e 9.
Mas, quando existem muitos números ou quando o MMC é um número alto, o método pode exigir um tempo inviável. Por isso, existem outras formas para resolver a questão.
Quando são apenas dois números, existe uma regra prática e rápida para descobrir o MMC: estabelecendo o número maior como denominador e o menor como numerador de uma fração, para depois reduzir a fração aos seus menores termos e posteriormente multiplicar em cruz o resultado obtido.
Na prática, para encontrar o MMC de 8 e 4, podemos considerar a fração 4/8 e reduzir para os menores termos, que seriam ½. Depois disso, multiplicados 4 × 2 e 8 × 1, o que dá 8 e 8. Somando os dois números, temos 16, o MMC entre 8 e 4.
Se é preciso descobrir o MMC de mais de dois números, a regra é realizar a decomposição primária de cada número (o que também faz parte do conteúdo do ensino fundamental) e, ao fim, multiplicar os fatores encontrados. Porém, o método também pode dar muito trabalho em números extensos. Por isso, a melhor forma aqui é com a fatoração.
Se quisermos encontrar o MMC de 4, 9 e 12, por exemplo, podemos fazer a conta simultaneamente, alinhando os números da seguinte forma:
4, 9, 12| 2
2, 9, 6| 2
1, 9, 3| 3
1, 3, 1| 3
1, 1, 1|
Veja que, inicialmente, dividimos pelo menor número primo possível, que é 2, e repetimos até que só seja possível dividir pelo próximo número primo, 3. Então repetimos até que a última linha tenha apenas o algarismo 1. Poderíamos, se fossem outros números, partir para o próximo número primo, 5, e assim sucessivamente.
Para encontrar o MMC, basta multiplicar todos os fatores primos da coluna na direita: 2 × 2 × 3 × 3 = 36, o MMC entre 4, 9 e 12.
Já o MDC pode ser encontrado de três formas principais: a decomposição simultânea em fatores primos, o Algoritmo de Euclides e a própria fatoração. Assim como no caso do MMC, a decomposição pode levar muito tempo em números maiores. Já o algoritmo de Euclides, apesar de ser bem simples, não é tão utilizado.
O mais prático é a própria fatoração, o que permite descobrir tanto o MMC como o MDC dos números em uma mesma conta. A diferença é que, em vez de multiplicar todos os fatores como foi feito para achar o MMC, a descoberta do MDC exige apenas multiplicar os números que dividiram todos os números ao mesmo tempo.
Por exemplo, para achar o MDC de 30, 40 e 120:
40, 60, 120| 2
20, 30, 60| 2
10, 15, 30| 2
5, 15, 15| 3
5, 5, 5| 5
1, 1, 1|
O número 2 dividiu os três números duas vezes, e o número 5, uma. Logo, o MDC será 2 × 2 × 5, ou seja, 20. Se quisermos achar o MMC, basta multiplicar 2 × 2 × 2 × 3 × 5, que resulta em 120, o MMC de 30, 40 e 120.
Ponha a teoria em prática!
Além de conhecer a teoria de MMC e MDC, para quem está se preparando para o Enem e os vestibulares, é importante praticar. A melhor forma de fazer isso é realizando muitos exercícios para fixar a técnica e dar agilidade ao seu pensamento lógico. O Trilha do Enem é uma plataforma ótima para isso, pois além de videoaulas, você pode fazer simulados!
Portanto, aproveite o embalo para conhecer outros 6 exercícios fundamentais de matemática.
