Produtos notáveis são casos de expressões da Álgebra que envolvem padrões de multiplicação entre os termos. Isso quer dizer que eles apresentam um esquema de organização particular das fórmulas de Matemática, construído de acordo com determinadas regras.
De maneira geral, os produtos notáveis trazem polinômios como fatores. Por exemplo, o quadrado da soma (a + b) pode ser fatorado em (a + b) × (a + b). Conhecer as regras de desenvolvimento dos produtos notáveis é fundamental para resolver alguns problemas matemáticos.
Por ser cobrada constantemente na prova de Matemática no Enem e nos vestibulares em geral, é indispensável dominar essa matéria para se obter uma boa nota. Neste post, você vai entender tudo sobre produtos notáveis e como estudá-los. Continue a ler e aprofunde seus conhecimentos!
O que são produtos notáveis?
Produtos notáveis são expressões algébricas que envolvem a multiplicação regular de polinômios. Para entendê-las melhor, é importante relembrar o que são expressões algébricas e polinômios.
Uma expressão algébrica é uma fórmula matemática formada por variáveis (letras) e números. Ela representa algebricamente um determinado problema, que deve ser resolvido de acordo com as regras. Exemplos de expressões algébricas são:
2x + 7 = 9
-z + 4y – x = 15
x2 + y = 8
Como você pode ver, uma expressão algébrica envolve elementos conhecidos e não conhecidos. Esse segundo caso corresponde às incógnitas, cujos valores precisam ser descobertos para que a equação seja resolvida.
Agora, vamos aos polinômios. Um polinômio é uma expressão qualquer do tipo 2x + 5, composta por variáveis e números. Em termos técnicos, ele é formado pela adição e/ou subtração entre monômios.
Mas o que são monômios? Monômio é um termo algébrico que apresenta uma parte literal e um coeficiente numérico, ou seja, letras e números. No caso de 3x, 3 é o coeficiente e x é a parte literal.
Outros exemplos de monômio são 7ab2, x2y2z2 e 9xy. É importante notar que um monômio nada mais é do que um polinômio composto por um único termo. Polinômios com dois termos ou dois monômios serão chamados de binômios, com três de trinômios, e assim por diante.
De volta aos produtos notáveis, eles vão envolver sempre uma decomposição em fatores regulares, geralmente binômios. Por exemplo, a expressão a2 – b2 pode ser fatorada em (a + b) × (a – b).
Como os produtos notáveis e os polinômios podem ser de muitos tipos, convém estudá-los detalhadamente. No restante do post, descubra os cinco tipos de produtos notáveis e como estudá-los.
Quais são os 5 casos dos produtos notáveis?
Existem cinco casos básicos de produtos notáveis. Aprender devidamente cada um deles ajuda a simplificar o cálculo de equações complexas e fornece caminhos possíveis para resolvê-las. Por isso, os produtos notáveis são grande auxílio nas questões de Matemática do Enem e do vestibular.
A seguir, você aprende quais são esses cinco casos.
Primeiro caso: quadrado da soma entre dois termos
O primeiro caso é bastante simples. Nele, temos uma expressão na qual a soma de dois termos a e b está elevada à segunda potência. Assim:
(a + b)2 = (a + b) × (a + b)
Sempre que for esse o caso, a distribuição do produto notável vai resultar na seguinte expressão:
(a + b) × (a + b) = a2 + 2ab + b2
Segundo caso: quadrado da diferença entre dois termos
O segundo caso é idêntico ao primeiro. Todavia, em vez da soma entre dois termos a e b, é a diferença entre eles que está elevada à segunda potência. Assim, temos:
(a – b)2 = (a – b) × (a – b)
O resultado da distribuição será quase idêntico, com uma pequena diferença. Observe:
(a – b) × (a – b) = a2 – 2ab + b2
Terceiro caso: produto da soma entre dois termos pela diferença entre dois termos
O terceiro caso é muito tranquilo, pois parte do produto entre os termos vai se anular. Observe:
(a + b) × (a – b)
= a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
O resultado da distribuição, portanto, será a expressão simplificada a2 – b2.
Quarto caso: cubo da soma entre dois termos
A partir do quarto caso, as coisas ficam mais complexas. Mas não se preocupe, basta entender bem de que modo uma expressão algébrica pode ser decomposta em fatores de multiplicação. Ao elevar uma soma de termos à terceira potência, temos:
(a + b)3
= (a + b) × (a + b) × (a + b)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Portanto, em qualquer lugar que você encontrar a expressão (a + b)3, ela pode ser reduzida imediatamente a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, simplificando o cálculo.
Quinto caso: cubo da diferença entre dois termos
Esse caso é muito similar ao anterior. Acompanhe:
(a – b)3
= (a – b) × (a – b) × (a – b)
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
De novo, a expressão reduzida pode ser usada para simplificar os cálculos algébricos.
Como os produtos notáveis podem facilitar a resolução de expressões algébricas?
O assunto pode ser cobrado no Enem de diversas maneiras, seja para calcular diferenças entre áreas de figuras ou para elaborar funções de Matemática. Para entender melhor, pense na seguinte equação:
x2 – 8x + 16 = 0
Se analisarmos a distribuição da expressão à esquerda, vamos perceber que ela consiste em um produto notável do tipo (a + b) × (a – b). É o segundo dos casos que estudamos acima. Assim, para resolvê-la, podemos seguir o seguinte caminho:
x2 – 8x + 16 = 0
(x – 4) × (x – 4) = 0
Ora, uma multiplicação só resulta em zero se um de seus termos for zero. No caso, como os dois termos são iguais, ambos serão zero. Teremos:
x – 4 = 0
x = 4
Continue estudando!
Se o assunto ainda parece difícil, fique tranquilo. Como qualquer conteúdo relacionado à Matemática e suas Tecnologias, ficar afiado na aplicação dos produtos notáveis exige muito estudo e treinamento. Continue a fazer exercícios de Matemática, para ficar familiarizado com os problemas e as maneiras de resolvê-los.
É interessante realizar um simulado de vestibular de vez em quando, para testar o que aprendeu. Além disso, invista em uma criação de um plano de estudos personalizado. Assim, você ficará mais bem preparado para a prova de vestibular online.
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