Se você está estudando para o vestibular, sabe que existem algumas matérias que sempre são cobradas nas provas. Por isso, é preciso dominá-las, principalmente se você está dentre os que buscam as graduação mais concorridas. Na Matemática, pode-se ressaltar a análise combinatória, tópico que é bastante abordado no Enem e outros vestibulares.
Além disso, essa área é muito aplicada no dia a dia, muitas vezes, sem que percebamos. Como exemplo, podemos citar:
- a combinação de peças de roupas, para criar diferentes visuais;
- a criação de senhas, para proteção;
- a teoria de determinados jogos.
Afinal, a análise combinatória tem a função de cacular a quantidade de maneiras possíveis para se combinar elementos de um ou mais conjuntos, a fim de obter determinados agrupamentos.
E então, viu a importância de saber como ela funciona e de que forma resolver os problemas de análise combinatória, de acordo com o que cai no Enem e demais vestibulares? Para ajudá-lo, vamos dar algumas dicas sobre o que todo aluno precisa saber a respeito desse tema, a fim de dominar a Matemática nas provas. Confira!
Análise combinatória
A análise combinatória é uma área da Matemática que tem como objetivo resolver os problemas de contagem. Afinal, na maioria dos casos, pode ser bastante complicado ou confuso realizar contagens seguindo critérios como ordenação, agrupamento ou repetição.
Com a ajuda da análise combinatória e de suas técnicas, essas questões se tornam muito mais fáceis e simples. Então, confira quais são os passos matemáticos abaixo, além de exemplos de questões e suas resoluções. Bom estudo!
Fatorial
Fatorial é um número natural, inteiro e positivo, sendo representado por n!. Para calcular o seu fatorial, é preciso multiplicar esse número por todos os seus antecessores, até alcançar o número 1. Achou confuso? Veja o exemplo de fatorial abaixo.
Fatorial de 4 : 4!
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Fatorial de 8 : 8!
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
É preciso entender esse conceito, porque os números fatoriais estão intimamente relacionados à análise combinatória, uma vez que ambos envolvem a multiplicação de números naturais e consecutivos.
Princípio fundamental da contagem
O princípio fundamental da contagem (PFC) está ligado às situações que determinam as possibilidades de certo evento ocorrer. Sendo assim, é a estrutura básica da análise combinatória, visto que, através do PFC, é possível desenvolver métodos de contagem para a resolução de problemas.
Como exemplo, é possível citar:
- os diversos modos que podem ser criados para organizar pessoas em uma fila;
- quantos números de placas de carros podem ser formadas com determinadas letras e algarismos;
- quais são as possíveis combinações ganhadoras de prêmios (como a Mega-Sena), entre outros.
Exemplo 1
Imagina que uma pessoa tenha 3 camisas, 2 calças e 2 cintos diferentes. De quantas maneiras distintas ela pode se vestir? Nesse caso, é preciso explorar todos os tipos de combinações existentes entre as três peças de roupa. Ou seja, a pessoa não está preocupada com a cor ou com a exclusão de nenhuma peça.
Segundo o PFC, que também é chamado de multiplicativo, basta multiplicar 3 x 2 x 2, encontrando um total de 12 combinações.
Exemplo 2
Quantas placas de automóveis podem ser formadas com 3 letras e 4 algarismos? Nesse caso, deve-se considerar os algarismos de 0 a 9 e todas as letras do alfabeto.
Letras algarismos
1ª l 2ª l 3ª 1º l 2º l 3º l 4º
Como existem 26 letras no alfabeto e 10 algarismos disponíveis, podemos considerar as opções a seguir.
Letras algarismos
26 l 26 l 26 10 l 10 l 10 l 10
Seguindo o princípio multiplicativo, basta multiplicar as possibilidades. Ou seja:
- 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 placas de automóveis.
Permutação
Para que você entenda o que é permutação, pense em uma sequência ordenada com um número n de elementos distintos. Outra sequência formada por esses mesmos n elementos, de forma reordenada, é chamada de permutação.
Permutação sem repetição
Nesse tipo de combinação, não pode haver elementos repetidos. A ordem dos elementos é importante e todos eles são utilizados de uma só vez. Nesse caso, o número de permutações é definido por Pn = n!
Exemplo
Quais são as possíveis permutações das letras da palavra AMOR? Como a palavra tem 4 elementos distintos, basta calcular 4!, ou seja:
- P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 permutações
Permutação com repetição
É possível que qualquer conjunto apresente elementos repetidos, certo? Sequências iguais não são permutações, devendo ser excluídas do cálculo.
Por esse motivo, a fórmula usada para esse cálculo é diferente, sendo definida por:
Pnk = n!
k!
n = número total de elementos
k = número do elemento que se repete
Caso mais de um elemento se repita, é preciso mudar a fórmula:
Pnk,j = n!
k! x j!
n = número total de elementos
k = número do 1º elemento que se repete
j = número do 2º elemento que se repete
Exemplo
Calcule o número de anagramas (possíveis combinações sem que haja repetição da palavra) de ANTONIA. Observe que a palavra tem 7 elementos, sendo que a letra A se repete 2 vezes, assim como a letra N. Dessa forma, o cálculo deve ser feito da seguinte forma:
P72,2 = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 = 1260 permutações
2! x 2! 2 x 1 x 2 x 1 4
Combinação
Apesar de parecer difícil, a combinação é bastante fácil de se resolver nos problemas matemáticos. Isso porque, de um conjunto de n elementos, é preciso tirar p elementos para reorganizar o conjunto em subconjuntos. Como exemplo, pode-se citar os problemas em que é preciso montar comissões, separar turmas, escolher qual pessoa ficará em cada barraca, entre outros.
Veja o problema: Em uma empresa, é necessário montar uma comissão com 3 pessoas, sendo que a equipe tem 20 funcionários disponíveis. Quais são as comissões diferentes que é possível formar?
Cn,p = n!
p! (n-p)!
C20,3 = 20! = 20! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 […] x 1 = 1140 combinações
3! (20-3)! 3! x 17! 3 x 2 x 1 X 17 x 16 x 15 […] x 1
Viu como é importante não deixar a análise combinatória de lado ao estudar Matemática? Esse é um tópico muito frequente e importante no Enem e no vestibular. E para ajudá-lo ainda mais na sua preparação, vamos dar uma dica muito valiosa: confira o Trilha do Enem! Lá , você encontra materiais gratuitos e super engajadores para se preparar para o Enem e demais vestibulares!
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