[APRENDA FÁCIL] Progressão Geométrica: o que é e como calcular

A progressão geométrica (PG) é como chamamos as sequências de números onde cada termo é igual ao anterior multiplicado por uma constante que se repete entre todos os termos, com exceção do inicial. Um exemplo dessa sequência geométrica seria (3, 9, 27), onde você vê cada termo sendo o mesmo que o anterior multiplicado por 3.

Aprender sobre as fórmulas matemáticas envolvidas e as propriedades da PG é importante para diversos momentos da vida. O mais comum para todas as pessoas é o seu uso nas provas de ensino médio ou de acesso à universidade, como Vestibular e Enem.

Logo, se quiser saber mais sobre essa parte importante da matemática do ensino médio, como solucionar problemas de PG e até mesmo aprender a fazer cálculos financeiros, continue a leitura abaixo. No texto abaixo, você aprenderá tudo sobre as sequências e séries de propriedades geométricas e todos os detalhes envolvidos.

Faça boa leitura e uma boa prova depois!

Fundamentos de Progressão Geométrica

As funções matemáticas e as características de uma PG envolvem sua definição, seus elementos, tipos, fórmulas e outros conceitos importantes a serem conhecidos. Se quiser ir bem nos seus exames de matemática e exercícios de PG, confira os textos abaixo.

Você aprenderá a fazer os elementos de PG de uma vez por todas:

Definição de PG

A progressão geométrica é uma sequência de números em que cada um dos termos surge a partir do produto do anterior com um valor constante que chamaremos de razão, geralmente simbolizada por q. 

Termo Geral de uma PG (ou Fórmula da PG)

A fórmula geral de PG é aquela utilizda para encontrar qualquer o valor de um termo dentro da sequência. Se você quiser saber qual o primeiro, o segundo ou o quarto termo, precisará dessa fórmula. 

Fórmula de PG:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Tipos de PG

• PG Crescente: é a série geométrica em que a progressão acontece em uma sequência crescente, ou seja, q > 1. Dessa forma, os termos sempre serão maiores do que o anterior;
• PG Decrescente: é a série geométrica em que a progressão acontece em uma sequência decrescente, ou seja, q < 1. Dessa forma, os termos sempre serão menores do que o anterior;
• PG Constante: é a série geométrica em que a progressão acontece em uma sequência de termos iguais, ou seja, a rácio/razão = 1. Dessa forma, os termos sempre serão iguais;
• PG infinita: série infinita de termos;
• PG finita: série finita de termos.

Soma de Termos de uma PG

Estas são as fórmulas para calcular a soma dos termos de uma PG, conforme seus tipos:

PG Finita Crescente ou Decrescente:

S_n​=a₁*[(qⁿ-1)/(q-1)]

Onde:

• S_{n ​}= soma dos termos;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

PG Finita Constante:

S_n​=n*a₁

Onde:

• S_{n ​}= soma dos termos;
• a₁ = primeiro termo;
• n = posição do termo na sequência.

PG Infinita ou Convergente:

S_∞​=a₁/(1-q)

Onde:

• S_{∞ ​}= soma dos termos;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG.

PG Infinita Convergente (Ou convergência de PG)

A PG infinita convergente é um caso particular em que a razão q está entre 0 e 1 (0<q<1). Nesse cenário, os termos vão diminuindo progressivamente até se aproximarem de zero. Por isso, a soma de uma série infinita atinge um valor finito, conforme mostrado na fórmula do tópico anterior.

Aplicações de PG no Cotidiano

Descobrir os termos de uma PG, a razão da progressão geométrica e as somas dos termos de uma PG é muito importante para o cotidiano. Além das provas tipo vestibular, as aplicações de PG acontecem em muitas situações práticas.

Por exemplo, na matemática financeira, com que você lida no dia a dia, a Progressão Geométrica é aplicada nos juros/na capitalização composta. Na biologia, utiliza-se a PG para calcular o crescimento populacional de uma espécie.

A PG é de grande importância, então, em cálculos de estatística que ocorram de forma geométrica, até mesmo aquelas exponenciais. O estudo de progressões no Ensino Médio é só o começo, pois onde houver álgebra, as progressões facilmente poderão aparecer.

Logo, o uso prático de PG vai desde no dia a dia, calculando os juros compostos, a situações mais complexas, como a resposta de circuitos RC na engenharia. 

Resolução de Problemas de PG

Uma boa forma de fixar o conhecimento sobre essas sequências que acontecem em multiplicação constante é através de exemplos de cálculos. Para isso, eu trouxe questões de PG aplicadas em provas de vestibular, Enem e concursos públicos:

ENEM 2023 – Primeiro Exemplo

O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da profundidade em um rio, sendo L₀ a intensidade na sua superfície.

Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo o mesmo padrão do esquema. A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a

1. 1/9 L₀
2. 16/27 L₀
3. 32/243 L₀
4. 64/729 L₀
5. 128/2187 L₀

Olhando para a questão, você consegue identificar rapidinho como uma questão de progressão geométrica. Não precisará de fórmula nenhuma para resolver essa questão, apenas se atentar ao fato de que a razão pode ser descoberta dividindo um termo pelo anterior, mas vamos aplicar para fixar o conhecimento:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Vamos usar o segundo e o primeiro termo para descobrir a razão:

• a_2​= 2/3L₀;
• a₁ = L₀;
• q = é o que queremos saber;
• n = 2.

Fica:

• 2/3L0=L0*q(2-1)
• 2/3L0=L0*q1
• 2/3L0=L0*q
• q=2/3L0/L0
• q=2/3

Logo, a razão é 2/3. Mas o que queremos descobrir é outra coisa, é o termo de número 7 (6 metros, porque o termo 1 é o 0 metros). Aplicando a fórmula novamente:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a_7​= é o que queremos descobrir;
• a₁ = L₀;
• q = 2/3;
• n = 7.

Aplicando:

a₇=L₀*2/3^(7-1)

a₇=L₀*2/3⁶

a₇=L₀*64/729

a₇=64/729L₀

Resposta: alternativa D.

ENEM 2023 – Segundo Exemplo

Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

1. 2
2. 4
3. 6
4. 12
5. 18

Ler a questão com cuidado permitirá você identificar que é uma questão de progressão geométrica. Se a pessoa da questão começa com 100 larvas, sabemos que nosso a₁ = é igual a 100. A cada 3 dias, a quantidade dessas larvas é multiplicada por 10, que é a razão da nossa progressão geométrica nesse caso.

O que queremos descobrir é quantos dias ele precisa esperar para que aplique o produto e, para isso, vamos precisar descobrir n e multiplicar por 3 (porque n cresce de 1 em 1, mas os dias são de 3 em 3).

Ah, e para isso precisamos saber o valor do nosso a_n também. Se ele possui 5 litros do produto, vai esperar para aplicar tudo de uma vez e 1 litro se usa para 200.000, ele quer chegar a 5*200.000 larvas. Isso é, a_n = 1.000.000.

Logo, aplicamos a fórmula:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a_n = 10000;
• a₁ = 100;
• q = 10;
• n = é o que queremos saber.

1000000 = 100*10^(n-1)

Agora vem um ponto importante para nós. Vamos simplificar a equação, já que são todos números de base 1, e diminuir nosso trabalho.

Ficará assim:

• 10⁶= 10²*10^(n-1)
• 6=2*(n-1)
• 6=2(n-1)
• n-1=6/2
• n-1=3
• n=4

Só que queremos saber a quantidade de dias, não de “crescimentos populacionais”. Logo, precisamos multiplicar n pelo número de dias. Se são 3 dias cada crescimento, então 4*3 e a alternativa correta é D) 12.

ENEM 2020 – Terceiro Exemplo

O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

1. (1/2)¹⁰⁰
2. (1/2)⁹⁹
3. (1/2)⁹⁷
4. (1/2)^-98
5. (1/2)^-99

A resolução dessa questão passa por entender que o quadrado PRST tem lado 1 e o seguinte tem lado 1/2, nos levando ao fato de que cada termo é metade do anterior. Dividir pela metade é a mesma coisa que multiplicar por 0,5 ou, em fração, 1/2. Isso significa que a nossa razão é 1/2.

Queremos descobrir o valor de a_n onde n = 100, o centésimo quadrado.

Logo, aplicamos a fórmula:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a_n = é o que queremos descobrir;
• a₁ = 1;
• q = 1/2;
• n = 100.

Fica assim:

• a_100​=1​*1/2^(100-1)
• a_100​=1​*1/2⁹⁹
• a_100​=1/2⁹⁹

Resposta: alternativa A.

PG em Competições Matemáticas

A Progressão Geométrica é bastante comum em competições matemáticas de nível escolar para testar as capacidades lógico-matemáticas dos estudantes. Nem sempre, no entanto, as questões virão de forma simples como “encontre r” – geralmente, virão em uma questão mais elaborada que pergunta outras informações junto ou são uma sequência de exercícios.

As questões do Enem no tópico anterior são bons exemplos do que quero dizer. Elas perguntam informações da PG que envolvem mais do que simplesmente aplicar as fórmulas. Não basta decorar teorema fundamental do cálculo, você precisa saber relacionar a outras.

Aqui está um exemplo de questão de Progressão Geométrica em Competições Matemáticas:

Exercício 1. do Módulo de Progressões Geométricas da OBMEP

Em cada P.G. abaixo, faça o que se pede:

a) Sendo a₁ = 3 e a razão q = 2, calcule a₇.

Logo, aplicamos a fórmula:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a₇ = é o que queremos saber.;
• a₁ = 3;
• q = 2;
• n = 7.

Aplicando:

• a_7​=3​*2^(7-1)
• a_7​=3​*2⁶
• a_7​=3​*64
• a_7​=192

b) Sendo a_n uma P.G. crescente com a₈ = 40 e a₁₀ = 360, qual o valor da razão?

Para essa questão, vamos precisar de um pouco de lógica. Não importa para nós qual é ou deixa de ser o a₁ dessa PG, só precisamos de 2 termos quaisquer, sabendo quais são e onde estão, para descobrir a razão. Por isso, vamos redefinir os ns.

O a₈ será o nosso novo a₁, transformando o a₁₀ em a₃. Vamos à fórmula:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a₃ = 360
• a₁ = 40;
• q = é o que queremos saber.
• n = 3.

Aplicando:

• 360_​=40​*q^(3-1)
• 360_​=40​*q²
• _​q²=360/40​
• q²=9
• q=3

c) Sendo a₄ = 500 e a razão q = 5, calcule a₁.

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a₄ = 500
• a₁ = é o que queremos saber.
• q = 5
• n = 4

Aplicando:

• 500_​=a₁​*5^(4-1)
• 500_​=a₁​*5⁽³⁾
• 500_​=a₁​*125
• a₁=500/125
• a₁=4

Exercício 3. do Módulo de Progressões Geométricas da OBMEP

O nono termo dessa progressão geométrica A, de razão q, é 1792 e seu quarto termo é 56. Dessa forma, qual o quarto termo de outra progressão geométrica B, com razão q + 1 e cujo primeiro termo é igual ao primeiro termo da progressão A?

Essa é uma questão com múltiplas questões a serem resolvidas até chegar na principal. Temos duas progressões geométricas, sobre as quais temos as seguintes informações:

PG A:

• a₁= a₁ da PG B
• a₉= 1792
• a₄= 56
• q= q da PG B – 1

PG B:

• a₁= a₁ da PG A
• q= q da PG A + 1
• a₄= é o que queremos descobrir

Para isso, vamos descobrir, primeiro, qual é o q da PG A e, para isso, vamos usar a lógica da questão b do exercício 1. Vamos transformar, temporariamente, o a₄ em a₁ e o a₉ em a₆ e aplicar a fórmula:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Não vou repetir essas definições ou ficará muito grande. Vamos direto aos cálculos.

Descobrindo q da PG A

• a_{6 ​}= 1792;
• a₁ = 56;
• q = não sabemos;
• n = 6.

Aplicando:

• 1792=56*q^(6-1)
• 1792=56*q⁽⁵⁾
• q⁵=1792/56
• q⁵=32
• q=2

Descobrindo verdadeiro a₁ da PG A usando a₄

• a_{4 ​}= 56;
• a₁ = não sabemos;
• q = 2;
• n = 6.

Aplicando:

• 56_​=a₁​*2^(4-1)
• 56_​=a₁​*2³
• 56_​=a₁​*8
• a₁=56/8
• a₁=7

Agora, descobrindo a₄ de PG B:

• a_{4 ​}= não sabemos;
• a₁ = 7
• q = 2 de PG A + 1;
• n = 4

Aplicando a fórmula:

• a_4​=7​*3^(3-1)
• a_4​=7​*3²
• a_4​=7​*9
• a_4​=63

Diferenças entre PG e PA

A progressão geométrica é uma escala em que o quociente entre os números é constante e os termos variam com uma mesma multiplicação que se repete em toda sequência. A progressão aritmética acontece com adição ou subtração, com a diferença entre os termos sendo constante.

Veja exemplos de progressão geométrica e progressão aritmética com o mesmo a₁ (3), mesma razão (2) e mesma quantidade de termos (4):

• PG |  a_1​ = 3  | r = 2 | n = 4
  • (3, 6, 12, 24)
• PA |  a_1​ = 3  | r = 2 | n = 4
  • (3, 5, 7, 9)

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História da Progressão Geométrica

A história do estudo das progressões, geométricas e aritméticas ou qualquer outra, retoma no mínimo ao século XVII a.C., como visto em papiros de Ahmés. Quem é conhecido como o estudioso moderno, definidor de fórmulas e conceitos, é Gauss (1777-1855), um dos maiores gênios da matemática.

PG em Contextos Reais

Veja alguns exemplos de Progressão Geométrica aplicadas em contextos reais:

• Negócios: as vendas de um produto podem crescer geometricamente durante um período promocional, então PG vem como uma previsão de marketing e comercial;
• Engenharia: na engenharia elétrica, a diminuição da intensidade de um sinal ao longo de uma linha de transmissão pode ser modelada por uma progressão geométrica;
• Computação: em ciência da computação, algoritmos de busca binária reduzem o espaço de busca pela metade a cada etapa, seguindo uma PG com razão 1/2;
• Física: a desintegração radioativa, onde a quantidade de uma substância radioativa diminui pela metade após um certo período, é um exemplo de progressão geométrica com uma razão inferior a 1.
• Matemática Financeira: juros compostos acontecem em progressão geométrica – isso é, você usa para calcular investimentos e dívidas.

Estratégias de Ensino de PG

As estratégias de Ensino de Progressão Geométrica mais comuns vem de explicações teóricas aliadas a aplicações e exercícios para fixar o conhecimento, dentro da sua estratégia e metodologia de ensino.

Uma boa ideia é apresentar a progressão geométrica aplica a situações reais do dia a dia desses alunos.

PG em Testes Padronizados

A Progressão Geométrica é bastante usada em testes padronizados como provas de vestibular, Enem e outras de acesso à universidade. Também é possível ver questões de Progressão Geométrica em concursos públicos e olimpíadas de matemática.

Confira um exemplo do caderno de exercícios da apostila do Módulo de Progressões Geométricas do Portal das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas:

Exercício 7. A meia vida de um elemento radioativo é o intervalo de tempo em que a massa de uma amostra desse elemento se reduz à metade. O Cobalto-60, usado na medicina como fonte de radiação, tem meia vida de 5 anos. Qual é a porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 25 anos?

Logo, aplicamos a fórmula:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a₅ = é o que queremos descobrir;
• a₁ = 60;
• q = 1/2;
• n = 5 (reduz pela metade a cada 5 anos, são 25 anos, então 5 reduções).

Aplicando a fórmula:

• a_5​=60​*1/2^(5-1)
• a_5​=60​*1/2⁴
• a_5​=60​*1/16
• a_5​=60​/16
• a_5​=3,75

Avanços no Estudo de Sequências

O estudo de sequências matemáticas mantém-se ativo, porém a Progressão Geométrica em si não oferece muito espaço para mais evoluções. Seus desenvolvimentos geralmente estão relacionados a entender outros fenômenos científicos e matemáticos, não da PG em si.

PG e Análise Numérica

A progressão geométrica (PG) e a análise numérica se relacionam de várias maneiras práticas e teóricas. Métodos iterativos usados em análise numérica para resolver equações ou sistemas de equações frequentemente utilizam processos que podem ser modelados por uma PG. Além disso, a análise da convergência de métodos numéricos envolve frequentemente razões geométricas, especialmente na avaliação da taxa de erro e no comportamento assintótico de algoritmos.

Compreender as propriedades das progressões geométricas é essencial para interpretar e prever o desempenho de muitos métodos numéricos, aplicados em diversos campos como engenharia, economia e ciências computacionais. Aprender esses conceitos facilita a utilização prática de técnicas avançadas para resolver problemas complexos.

Exemplos:

• Métodos Iterativos: No método da potência para encontrar o autovalor dominante de uma matriz, a multiplicação repetida por uma constante segue uma progressão geométrica.
• Erro e Convergência: A convergência quadrática do método de Newton-Raphson implica que o erro em cada passo é proporcional ao quadrado do erro no passo anterior, formando uma PG.
• Interpolação e Aproximação: Em técnicas de interpolação, como splines, os coeficientes podem seguir uma progressão geométrica.
• Condicionamento de Problemas Numéricos: A análise de condicionamento de matrizes pode envolver a razão geométrica dos autovalores.
• Complexidade Algorítmica: A complexidade temporal do algoritmo de multiplicação rápida de matrizes Strassen pode ser descrita usando uma PG.

PG em Cenários Econômicos

A Progressão Geométrica é utilizada em diversas partes dos estudos e aplicação em cenários econômicos. Entre eles, estão elementos mais simples, como juros compostos, utilizados bastante na matemática financeira. 

Além disso, PG aparece em projeções de crescimento econômico, como na análise de evolução populacional, onde o aumento percentual é constante ao longo do tempo. Também é utilizada para calcular o valor futuro de um investimento com depósitos regulares, seguindo uma progressão geométrica acumulativa.

Outro exemplo comum é na depreciação de bens ou ativos, como máquinas e equipamentos, em que a perda de valor ao longo do tempo segue uma taxa constante, formando uma PG decrescente.

Compreender o uso da PG em cenários econômicos permite analisar situações reais de maneira prática, facilitando a tomada de decisões financeiras e estratégicas.

PG e Lógica Matemática

É muito comum que provas de lógica matemática utilizem questões de progressão geométrica. Acontece que nesses momentos o que está sendo testado é sua capacidade de entender a questão e como chegar na solução, não apenas memorização e aplicação de fórmulas de PG.

Tecnologia no Ensino de PG

O uso da tecnologia no ensino de Progressão Geométrica pode trazer diversos benefícios para o professor e para o estudante. Entre as ferramentas possíveis, estão os bancos digitais de provas e questões, que facilitam a distribuição de exercícios e acompanhamento de resultados. 

A Stoodi oferece um banco de provas para você exercitar seus conhecimentos, assim como monitoria de professores de alta qualificação. Confira o intensivo Stoodi agora! 

Métodos Interativos de Aprender PG

Uma das formas mais eficientes e interativas de aprender sobre Progressão Geométrica, Progressão Aritmética, Geometria, Sequência de Fibonacci, Logaritmos, Análise Combinatória, Termos Sequenciais, Aritmética Sequencial, e outros conteúdos matemáticos importantes é através de plataformas digitais de ensino avançadas.

Um bom exemplo é o intensivo da Stoodi. Nele, você acessa questões de diferentes provas de Enem e Vestibular, conta com a ajuda de materiais didáticos e professores super eficientes, descobre sobre além de PG, Aritmética Sequencial, Limite de uma PG, e outros exemplos de sequências geométricas.

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PG e seu Papel na Ciência

A Progressão Geométrica (PG) vai além de um simples conceito matemático. Sua aplicação está profundamente enraizada em diversas áreas da ciência, servindo como uma ferramenta essencial para compreender fenômenos que envolvem crescimento ou decaimento exponencial.

Na biologia, por exemplo, a PG ajuda a modelar o crescimento populacional em ambientes ideais, onde a reprodução ocorre a uma taxa constante. Um exemplo clássico é o estudo do crescimento de bactérias em culturas laboratoriais, onde o número de indivíduos dobra a cada ciclo.

Na física, a PG é indispensável para entender fenômenos como o decaimento radioativo. A meia-vida de um elemento radioativo pode ser representada por uma sequência geométrica, que descreve como a quantidade de material se reduz ao longo do tempo.

Além disso, na economia, a PG é aplicada para modelar situações de juros compostos, onde o valor acumulado cresce exponencialmente com o tempo. Isso é particularmente relevante em cálculos de investimentos e financiamentos, onde compreender a dinâmica do crescimento exponencial pode determinar o sucesso ou o fracasso de uma decisão financeira.

A versatilidade da Progressão Geométrica demonstra como conceitos matemáticos aparentemente abstratos podem se tornar ferramentas práticas e indispensáveis na compreensão e resolução de problemas reais em diversas áreas do conhecimento.

Desafios em PG

Separei 5 questões de progressão geométrica para você realizar por conta e chegar na resposta. A solução completa pode ser conferida no banco de provas ou com auxílio dos professores e da inteligência artificial da Stoodi (veja aqui).

UFRN

Os vértices dos triângulos brancos construídos são os pontos médios dos lados dos triângulos escuros da figura anterior. Denominamos a1, a2, a3, a4 e a5, respectivamente, as áreas das regiões escuras da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta figuras da sequência:

Podemos afirmar que a1, a2, a3, a4 e a5 estão, nessa ordem, em progressão geométrica de razão:

1. 3/4
2. 1/2
3. 1/3
4. 1/4

ENEM 2010

Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

1. 9
2. 45
3. 64
4. 81
5. 285

ENEM 2015

O padrão internacional ISO 216 define os tamanhos de papel utilizados em quase todos os países. O formato-base é uma folha retangular de papel chamada de A0, cujas dimensões estão na razão 1 :√2 . A partir de então, dobra-se a folha ao meio, sempre no lado maior, definindo os demais formatos, conforme o número da dobradura. Por exemplo, A1 é a folha A0 dobrada ao meio uma vez, A2 é a folha A0 dobrada ao meio duas vezes, e assim sucessivamente, conforme figura.

Um tamanho de papel bastante comum em escritórios brasileiros é o A4, cujas dimensões são 21,0 cm por 29,7 cm. Quais são as dimensões, em centímetros, da folha A0? 

1. 21,0 x 118,8
2. 84,0 x 29,7
3. 84,0 x 118,8
4. 168,0 x 237,6
5. 336,0 x 475,2

ENEM 2016

O padrão internacional ISO 216 define os tamanhos de papel utilizados em quase todos os países, com exceção dos EUA e Canadá. O formato-base é uma folha retangular de papel, chamada de A0, cujas dimensões são 84,1 cm x 118,9 cm. A partir de então, dobra-se a folha ao meio, sempre no lado maior, obtendo os demais formatos, conforme o número de dobraduras. Observe a figura: A1 tem o formato da folha A0 dobrada ao meio uma vez, A2 tem o formato da folha A0 dobrada ao meio duas vezes, e assim sucessivamente.

Quantas folhas de tamanho A8 são obtidas a partir de uma folha A0?

1. 8
2. 16
3. 64
4. 128
5. 256

ENEM 2018

Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Considere 0,30 como aproximação para log102.

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

1. 1999
2. 2002
3. 2022
4. 2026
5. 2146

PG em Exercícios Práticos

Confira alguns exercícios de progressão geométrica e suas resoluções:

Exercício 8 do caderno de exercícios da apostila do Módulo de Progressões Geométricas do Portal das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas:

Desde o tsunami que atingiu a central de Fukushima em 2011, afetando os sistemas de refrigeração dos reatores, já ocorreram vários vazamentos, o último com aproximadamente 300 toneladas de água altamente radioativa, que pode ter sido escoada para o Oceano Pacífico. O Césio 134 e Estrôncio 90 são alguns dos 63 elementos presentes nesse acidente. A meia-vida do Estrôncio 90 é de 28 anos.

Considere uma massa de m0 = 10 toneladas dessa substância. Qual é o tempo transcorrido para que a massa se reduza a 1/8 da inicial?

Logo, aplicamos a fórmula:

a_n​=a₁​*q^(n-1)

Onde:

• a_{n ​}= termo da posição n;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão da PG;
• n = posição do termo na sequência.

Os valores:

• a_n = Corresponde à massa final, que neste caso, é da massa inicial. Assim, an = m₀/8 = 10 ton/8 = 1,25 ton
• a₁ = m₀ = 10 ton
• q = 1/2
• n = É o que precisamos descobrir.

Aplicando a fórmula:

• a_n​=a₁​*q^(n-1)
• 1,25 = 10 * 1/2^(n-1)
• Simplificando (dividindo por 10): 0,125 = 1 * 1/2^(n-1)
• 0,125 = 1 * 1/2^(n-1)
• 0,125 = 1/2^(n-1)
• Simplificando (reescrevemos 0,125 como uma potência de 1/2): 0,125 = 1/8 = 1/2³
• 1/2³ = 1/2^n-1
• n-1=3
• n=3+1
• n=4

Foram necessários 4 meias-vidas para que a massa se reduzisse a 1/8 da massa inicial e, como cada meia vida corresponde a 28 anos, temos 112 anos.

Exercício 4 do caderno de exercícios da apostila do Módulo de Progressões Geométricas do Portal das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas:

Se os números 3, A e B, nessa ordem, estão em progressão aritmética e os números 3, A-6 e B, nessa ordem, estão em progressão geométrica, então quais são os possíveis valores de A?

Fora a₁, que é igual para ambas as progressões, e que há 3 termos, não temos mais informações sobre esses valores a princípio. Com isso, vamos aplicar as fórmulas que você aprende no nosso artigo de progressão aritmética e as deste artigo sobre progressão geométrica:

Sabemos que, em uma progressão aritmética, o valor de um termo é igual à média dos dois adjacentes. Isso é a_n= (a_n-1+a_n+1)/2. Logo, aplicando ao exercício, saberemos que:

• A = (3+B)/2.
• Elimine o denominador multiplicando ambos os lados por 2: 2A = 3+B
• 2A = 3+B
• B=2A-3

Sabemos que na progressão geométrica a razão é constante e, por tanto, um número dividido pelo anterior sempre vai ter o mesmo valor. Logo,

• (A-6)/3 = B/(A-6)
• (A-6)² = 3B

Agora, temos uma equação como o valor de B vindo da ondição da Progressão Aritmética e valos colocá-la na equação da Progressão Geométrica:

Condição da PA: B=2A-3

• (A-6)² = 3B
• (A-6)² = 3(2A-3)
• (A-6)² = 6A-9
• A²−12A+36=6A−9
• A²−18A+45=0

Agora, temos uma equação quadrática, à qual precisamos aplicar a fórmula de bháscara:

• A*2a = −b ± √ b² − 4 a * c​​
• A*2*1 = −(−18) ± √ (−18)​​² – 4 * 1 * 45
• A*2 = −(−18) ± √ (−18)​​² – 4 * 1 * 45
• A*2 = −(−18) ± √ (−18)​​² – 4 * 45
• A*2 = −(−18) ± √ (−18)​​² – 180
• A*2 = −(−18) ± √ 324 – 180
• A*2 = −(−18) ± √ 144
• A*2 = 18 ± √ 144
• A*2 = 18 ± 12
• A = (18 ± 12)/2

Indo aos resultados possíveis, começando com A1:

• A1 = (18 + 12)/2
• A1 = 30/2
• A1 = 15

Agora A2:

• A2 = (18 – 12)/2
• A2 = 6/2
• A2 = 3

Logo, segundo a fórmula de bhaskara, os valores possíveis para A são 15 e 3. Vamos fazer a validação ao verificar as condições:

Para A = 15

• Da PA:
  • B = 2A − 3
  • B = 2 * 15 − 3
  • B = 30 − 3
  • B = 27
• Da PG:
  • (A − 6) ²= 3 * B
  • (15 − 6)² = 3 * 27
  • 9² = 3 * 27
  • 81 = 3 * 27
  • 81 = 81
• 15 é válido como valor para A

Para A = 3

• Da PA:
  • B = 2A − 3
  • B = 2 * 3 − 3
  • B = 6 – 3
  • B = 3
• Da PG:
  • (A − 6) ²= 3 * B
  • (3 − 6) ² = 3 * 3
  • -3² = 3 * 3
  • 9 = 3 * 3
  • 9 = 9
• 3 é válido como valor para A.

Veja também: confira dicas de como estudar matemática para o Enem!

Curiosidades Matemáticas sobre PG

• A invenção dos logaritmos foi feita por John Napier (século XVII) utilizando progressões geométricas;
• A base da geometria fractal, como o triângulo de Sierpinski e o conjunto de Cantor, é a progressão geométrica;
• Progressões Geométricas na Natureza: Fenômenos naturais, como o crescimento de populações de organismos (sob condições ideais) ou a formação de flocos de neve, muitas vezes seguem padrões de progressões geométricas;
• A ciência e no estudo da teoria da informação, existe uma medida da incerteza de uma variável aleatória chamada Entropia de Shannon e que, para ser calculada, é necessário usar logaritmos – que estão intrinsecamente conectados às progressões geométricas;
• Os números de Mersenne, da famosa sequência de Mersenne, são números primos expressos como como 2p-1, com p sendo número primo e a razão 2.

PG e Programação

A relação entre progressão geométrica (PG) e programação é bastante significativa, especialmente em algoritmos e estruturas de dados. Aqui estão alguns exemplos de como as PGs são aplicadas na programação:

1. Complexidade de Algoritmos: Muitos algoritmos têm complexidades que podem ser expressas como progressões geométricas. Por exemplo, o tempo de execução do algoritmo de busca binária é O (log⁡n), que diminui o espaço de busca geometricamente a cada iteração.
2. Estruturas de Dados: Em árvores binárias balanceadas, como árvores AVL ou árvores Red-Black, o número de nós em cada nível pode ser descrito por uma progressão geométrica. A profundidade dessas árvores, crucial para operações rápidas, é também logarítmica, refletindo uma progressão geométrica.
3. Processamento de Imagens e Sinais: Em processamento digital de sinais, algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) utilizam operações que seguem uma progressão geométrica, otimizando a eficiência de cálculo.
4. Gráficos Computacionais: Na renderização de gráficos 3D, técnicas como subdivisão de superfícies utilizam progressões geométricas para aumentar o detalhamento de malhas.
5. Memória e Armazenamento: Algoritmos de compressão e compactação de dados muitas vezes utilizam progressões geométricas para reduzir o espaço necessário para armazenar informações.

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