O que é Logaritmo? Veja como estudar, usar e arrasar na prova

Logaritmo é uma função que ultrapassa a matemática. Tudo porque, seu uso, também pode ser aproveitado em outras ciências, como, por exemplo, na computacional, na biologia, na geográfica, na química e física. A ideia de sua criação foi a de facilitar as contas, uma vez que certos cálculos apareciam em muitas áreas científicas. 

Assim, o matemático John Napier desenvolveu uma operação que envolvesse a transformação de produtos em soma, divisões em subtrações e potências em multiplicações. 

Sabemos que parece um universo bem complicado, não é mesmo? Mas a intenção aqui é deixar tudo mais fácil, para que você possa desenvolver seu método de estudos e arrasar na prova do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio). Além disso, sendo uma ferramenta tão útil, é capaz que você aprenda os logs e use em algo que queira seguir como profissão! Confira! 

O que é logaritmo?

Logaritmo é uma função matemática que, quando potencializado e exponenciado, tem sua base construída. Mas e o que seria ser potencializado e exponenciado? Calma que juntos chegaremos lá! 

Potencialização – ou exponenciação, em operações matemáticas, significa a representação da multiplicação de fatores iguais, por exemplo, quando um número é multiplicado por ele mesmo, diversas vezes. 

Além disso, para quem está saindo do Ensino Médio e pretende quebrar tudo na prova do ENEM, provavelmente deve ter estudado, em algum momento, algumas palavrinhas que vamos escrever aqui para juntar esse quebra-cabeça. 

Uma delas é base do logaritmo. Ela faz parte do logaritmo? Sim! Pois é ela quem define em quantas vezes a multiplicação do número expoente vai acontecer. Para facilitar o processo de entendimento, temos aqui a fórmula da equação logarítmica:

a= é a base (que deverá ser sempre maior do que zero e diferente de 1 (a>0 / a#1);

b= é o logaritmando. Aqui, o b deve ser sempre maior do que zero (b>0);

x = representa o logaritmo 

Qual a função do logaritmo?

O logaritmo tem como função principal ser a operação inversa da exponencial, usada basicamente para facilitar a resolução do cálculo de equações exponenciais, que não seriam resolvidas de maneira mais fácil. Ou seja: todos os logs têm como missão simplificar cálculos aritméticos, por métodos mais rápidos, mesmo que esses cálculos sejam iniciados por números muito grandes. 

E a função logarítmica, o que é? 

Função logarítmica é toda função apontada pela definição f(x) = logax, sendo a#1 e a>0 é chamada de função logarítmica de base a. Trata-se daquela que possui em sua lei de formação o log de uma variável. Assim, o domínio desta função se dá no conjunto de números reais positivos, sempre seguindo a definição acima. 

O gráfico de uma função logarítmica pode ser:

• Crescente: quando a base for maior que 1;
• Decrescente: quando a base for menor que 1. 

Sendo o domínio o conjunto dos números reais positivos, o gráfico sempre estará nos quadrantes 1 e 4 do plano cartesiano. 

Plano Cartesiano 

Plano cartesiano refere-se a um objeto matemático, constituído por um gráfico quadriculado. Desta maneira, cada ponto deste gráfico é associado a dois números reais, que indicam a localização do ponto em questão. Trata-se das coordenadas do ponto e da indicação de sua posição, em relação aos eixos (duas retas perpendiculares). 

Como se calcula o logaritmo

Para se calcular um logaritmo é preciso encontrar o número que possa ter sua base elevada, resultando no logaritmando. Por exemplo: se pagarmos o logaritmo de 49, na base 7, temos de localizar um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte em 49. Neste caso:

7² = 49, resultando em 2

Cálculo exponencial

Cálculo exponencial ou equação exponencial é toda equação na qual a letra chamada de incógnita aparece no exponente, como, por exemplo, a^x = b

As chamadas propriedades de potenciação são geralmente utilizadas para a resolução de uma equação exponencial. 

Assim, as principais propriedades da potenciação, são: 

• multiplicação de potências de mesma base;
• divisão de potências de mesma base;
• potência de potência; 
• potência de produto e
• potência de quociente. 

História dos logaritmos

Como escrito no começo deste texto, o matemático escocês John Napier (1550 – 1617) desenvolveu um novo método para resolver operações mais complexas. Este novo método foi visto como um salto enorme para a resolução das operações aritméticas, por meio das operações logarítmicas. A descoberta do logaritmo foi tão importante que chegou a impulsionar descobertas nas áreas de navegação e astronomia. 

Um pouco mais tarde, o inglês Henry Briggs (1561 – 1630) aperfeiçoou o cálculo criado por Napier, colaborando ainda mais para a facilitação de resoluções de operações mais complexas. 

Onde o logaritmo pode ser usado

Química, física, matemática, geografia? Antes de você pensar “para que o conhecimento em logaritmos vai servir no futuro”, vamos exemplificar a aplicação de logaritmos para calcular em algumas ciências.

O primeiro exemplo é o uso do logaritmo em Química. E não é que esses nossos amigos da matemática são usados para calcular o pH (potencial hidrogeniônico) de uma solução aquosa? O pH é nada mais, nada menos que uma escala logarítmica para dizer qual o grau de acidez há em uma solução aquosa. Assim, a conta fica:

0≤ pH ≤ 14″. Quando “0≤ pH < 7”, a solução é acida. Se “7< pH ≤ 14” a solução é básica e quando “pH = 7” a solução é neutra.

E na Física? Um exemplo da aplicação de logs no cotidiano da física está em medir a intensidade de decibéis. Ou seja: são os logaritmos que verificam a intensidade de sons, que possam ser suportados pelo ouvido humano. A escala de decibéis também é uma escala logarítmica, veja só!

Em geografia são os logaritmos que controlam e apontam a escala Richter – aquela que mede a magnitude dos terremotos ocorridos em nosso planeta. Isso porque, quase três séculos depois da descoberta e desenvolvimento de Napier, os sismólogos Charles Richter e Beno Gutenberg criaram a escala Richter. 

Quando ocorre um terremoto, a energia é liberada em formas de ondas. A escala Richter é associada ao valor do logaritmo da medida da amplitude máxima de onda, apontada pelos sismógrafos – o aparelho que as mede. 

Exames de Matemática

Mesmo que sejam, muitas vezes, assustadores para muita gente, os exames de matemática são importantíssimos de ser estudados antes mesmo de você pensar em começar a se planejar para o ENEM. Sobre logaritmos, por exemplo, é importante que você parta do conceito e vá, aos poucos, treinando todas as suas propriedades, modelos, funções e teorias. 

Tudo porque, estudando as regras, treinando provas anteriores, se preparando por meio de ferramentas (como a Stoodi, por exemplo) e contando com a nossa ajuda, você vai perceber que tudo vai ficar bem mais fácil. 

“Os logaritmos estão presentes nas mais diversas áreas do conhecimento, tais como: matemática, física, biologia, química, medicina, geografia, etc. Portanto é um assunto que deve ser de fato aprendido pelo aluno no ensino médio, pois será bastante utilizado no decorrer da trajetória escolar como também profissional”, argumenta, Lindomário Rocha, matemático pelo IFPB (Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba).

Por isso, não desanime, nem pense: “onde e como eu vou usar isso?”. Quando você menos esperar, pode se deparar com um log para resolver. Fique de olho! 

Logaritmos em Matemática

Assim como a soma é o inverso da subtração e vice-versa, em matemática, todas as operações aritméticas têm uma operação contrária. Isso é também o que dita o Teorema Fundamental do Logaritmo. Desta forma, os logaritmos são o oposto da exponenciação. Vale observar que os Teoremas Matemáticos também são usados para as operações de log! 

Lembrando que a exponenciação é a representação da multiplicação de fatores iguais, ou seja: quando o número é multiplicado por ele mesmo diversas vezes. 

Ln – Logaritmo Natural

O Ln (logaritmo natural) possui como base o número irracional e. Neste caso, e é igual a 2,718… Também conhecido como logaritmo neperiano, conforme a condição imposta x>0, pode ser expresso por: 

log_ex = ln x

Logaritmo Discreto

Álgebra é o ramo da matemática responsável por testar e comprovar as operações básicas da matemática e também às relações entre os diversos possíveis conjuntos numéricos. Especialmente utilizado em álgebra abstrata e suas muitas possibilidades de aplicação, os logaritmos discretos formam os grupos similares aos dos logaritmos naturais (Ln). Trata-se apenas da operação aplicada de maneira inversa. 

Os logaritmos discretos são também amplamente usados em sistemas de computação, uma vez que seus grupos favorecem a criptografia destes sistemas, trazendo mais segurança em transações e operações, por exemplo. São também os logaritmos discretos, parceiros da criação dos algoritmos.

Algoritmos para logaritmos 

Algoritmo refere-se a uma sequência com fim determinado de instruções lógicas que fazem com que os computadores executem suas tarefas e resolva problemas. Em conjunto ao logaritmo, o algoritmo pode ser desenvolvido para, por meio do log, facilitar a resolução de cálculos matemáticos complexos, na computação. 

Logaritmo Decimal

Usar a base 10 ou base decimal é corriqueiro nas operações matemáticas mais simples. Desta maneira, quando o log base 10 aparece como decimal. É preciso saber que:

• y=log(x)

Além disso, existem características particulares para entender os logaritmos das potências de 10. São elas:

• log(1) = 0
• log(0) não tem sentido
• log(10) = log(10¹) = -1
• log(1/10) = log(10^-1) = 1
• log(100) = log(10²) = 2
• log(1/100) = log(10^-2) = -2
• log(1000) = log(10³) = 3
• log(1/1000) = log(10^-3) = -3
• log(10ⁿ) = n
• log(10^-n) = -n

Logaritmo Binário (o logaritmo de Euler)

Em matemática, o logaritmo binário é o log de base 2. Representado por (log₂ n), trata-se do inverso da potência de 2. Sua equivalência de definição é

 

Ligado ao sistema de numeração binário, o logaritmo binário é foi usado pela primeira vez, de acordo com sua história, em teoria musical, pelo matemático Leonhard Euler. Por isso, o também chamado de logaritmo de Euler, o log de base 2 é muito usado em tecnologia da informação, teoria da informação, em toda a complexidade computacional, entre outros.  

Logaritmo Complexo

O logaritmo complexo refere-se à função inversa das funções exponenciais complexas. Desta forma, um logaritmo de um número complexo, deixa o logaritmo natural (Ln) generalizado por sua função. Além disso, os resultados encontrados por meio do logaritmo complexo, surgem a partir da utilização da noção topológica de conexão, sendo:

• Teorema da unicidade: em uma abertura conectada, se existir uma determinação contínua do logaritmo, ele será exclusivo para uma constante. 
• Teorema de inexistência: em um conjunto aberto conectado, se houver uma curva de índice 1, em torno da origem, não existirá a determinação contínua do logaritmo. 

Cálculo Diferencial e Integral

Você já sabe que cálculo se refere ao estudo das funções por diversas alterações em variáveis, não é mesmo? Mas e a diferença entre cálculo diferencial e cálculo integral e o que isso tem a ver com logaritmo? Vamos lá! 

Duas áreas relacionadas ao cálculo de logaritmos, como significado do cálculo diferencial é atribuído às pequenas mudanças nas variáveis, enquanto o cálculo integral, envolve mudanças pequenas, mas que são cumulativas. Onde há movimento e forças variáveis, algo pode ser calculado. E como eles foram criados? Os cálculos foram criados para acabar com as necessidades matemáticas dos cientistas dos séculos XVI e XVII. Entre esses cientistas se destacam, por exemplo, Isaac Newton e Gottfried Leibniz. 

Nessa época, foi Newton quem – por seu imenso interesse em ótica, matemática, metafísica e filosofia, desenvolveu mecanismos para obter respostas numéricas que satisfizessem e complementassem seu conhecimento sobre os números. Interessante, não? 

Mudança de Base de Logaritmo

Em cálculo de logaritmos, geralmente é necessário alterar a base do logaritmo em outra, para que a operação seja mais fácil de ser realizada. Mas veja só: para promover essa mudança de base de logaritmo é preciso levar em consideração regras e propriedades dos logaritmos. 

Como exemplo, podemos dizer que há em nosso exercício prático um log com base representada pela letra “b” e o logaritmando sendo representado pela letra “a”. Para a mudança de base, vamos alterar esse log em quociente de um logaritmo formado pela base “c”. 

Assim, percebemos que tanto “a” quanto “b” formam o logaritmando pela base “c”. 

Propriedades dos logaritmos 

Todo logaritmo segue a condição de existência, de uma equação logarítmica, sendo apresentados abaixo, juntamente com seus gráficos de funções:

Propriedade do logaritmo 1

O logaritmo do produto de dois fatores resulta na soma dos logaritmos desses fatores:

Propriedade do logaritmo 2

Na propriedade do logaritmo 2, temos: o logaritmo do quociente entre dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números.

Propriedade do logaritmo 3

Na propriedade 3, o logaritmo de uma potência é igual à multiplicação do expoente desta potência pelo log da base da potência, em que se mantém a base do logaritmo: 

Propriedade do logaritmo 4

Na propriedade do logaritmo 4, o logaritmo de uma raiz é igual ao inverso do índice da raiz, multiplicado pelo logaritmo, em que também mantemos a base: 

Propriedade do logaritmo 5  

Terminando o conjunto de propriedades do logaritmo, a de número 5 aponta que, o logaritmo de um número, quando em uma base elevada a potência, é igual à multiplicação do inverso do expoente desta base: 

Grafos Logarítmicos

Os Grafos Logaritmos ou Teoria dos Grafos Logaritmos falam sobre as relações entre os objetos de um conjunto determinado. Além disso, têm sua estrutura própria, sendo G(V, E), onde V se refere a um conjunto não vazio, com objetos chamados de vértices e E, denominação para “arestas”, por ser baseado em “edges”, do inglês. É importante saber que os vértices também podem ser chamados de nós, ok? 

Essas arestas podem ou não ser direcionadas, além de também ter a possibilidade de ligarem ou não os vértices, que geralmente possuem um peso. O grafo, quando tem um sentido orientado, é chamado de dígrafo. Já um grafo com um único vértice, sem arestas é chamado de grafo trivial. 

Séries Logarítmicas 

As séries e sequências logarítmicas são conhecidas por ser construídas de maneiras infinitas, por funções exponenciais e logarítmicas naturais. Foram descobertas e formalizadas por Leonhard Euler, no século XVIII. Euler, aliás, foi um dos primeiros matemáticos a encontrar alguma relação entre vértices, arestas e faces. 

Sua contribuição para a adoção dos logaritmos também envolveu o desenvolvimento da expansão em série exponencial, além de ter estabelecido uma relação linear entre os números, por meio da adição de uma constante, complementando a Teoria Logarítmica.

Inversão Exponencial 

Também conhecida como inequação exponencial, a inversão da função exponencial é a função logarítmica. Tudo porque, o logaritmo não é um número definido como expoente que deve ser elevado à base, para podermos obter os resultados de x ou y?   

Para ser encontrada, a inversão exponencial em sua lei de formação, é necessário fazer operações com equações. Veja o exemplo: se a função f(x) faz com que os valores de x dobrem, ou seja, pegamos o valor de x e multiplicamos por 2, a função inversa fará o contrário, ou seja, com que o valor seja dividido por 2.

Mas atenção: a função admite sua inversão somente quando for bijetora. Isso significa que ela deve ser injetora e sobrejetora aos mesmo tempo. Para que a função seja injetora é preciso que cada imagem possua apenas um correspondente associado a ela no contradomínio.

Confira:

Exemplo de funções injetoras e sobrejetoras, com domínio e contradomínio nos números reais:

f(x) = 2x + 1

f(x) = x³

A função sobrejetora acontece quando o contradomínio da função é igual ao seu conjunto de imagem. É um caso particular da função! Além de injetora e sobrejetora, a função pode ser bijetora também. Acontece quando é considerada sobrejetora e injetora de maneira simultânea.  

Fórmulas de Logaritmo 

Para exemplificar as fórmulas de logaritmo, tanto na matemática mais simples, quanto na matemática avançada, confira abaixo algumas possibilidades:

Você já sabe que logaritmo de a na base b é representado por log_ab
Ou seja: o valor x é encontrado porque a elevado a x seja igual a b. Por exemplo: log22³ = 3, pois 2³ = 2³

Somente para o caso de dois logaritmos de mesma base ser iguais é que é possível quando a base elevada ao logaritmo for igual ao logaritmando. 

Veja:

Importante: quando a base não está apontada, sempre será igual a 10 (sendo o logaritmo de a na base decimal). Exemplos:

Existem casos únicos em cálculo de logaritmos. São eles:

• log_b1 = 0, pois a⁰ = 1.

Como todo número elevado a 0 é igual a 1, então o logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

Exemplo numérico: log₈1 = 0, pois 8⁰ = 1.

• log_bb = 1, pois b¹ = b.

Como todo número elevado a 1 é ele mesmo, então logaritmo de base e logaritmando iguais são sempre iguais a 1.

Exemplo numérico: log₅5 = 1, pois 5¹ = 5.

• Se log_b^a = log_bc, então a = c, pois b^x = a e também b^x = c.

Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, o logaritmando for igual.

Exemplo numérico: Sabendo que log_b8 = log_ba, então a = 8.

• log_bbⁿ = n, pois, pela definição, bⁿ = bⁿ.

Esse caso é uma aplicação da definição, pois a base levada ao logaritmo é igual ao logaritmando.

Exemplo numérico: log₂2³ = 3, pois 2³ = 2³.

Identidades Logarítmicas 

As identidades logarítmicas são regras que fazem com que o resultado da operação seja mais fácil de ser encontrado. Elas também auxiliam a resolução facilidade das funções matemáticas Assim como para os logaritmos, as identidades são bastante úteis para resolver equações aritméticas por meio dos logaritmos. 

Como exemplo, temos:

log_a(1) = 0

log_a(a) = 1

log_a(x.y) = loga (x) + loga (y)

log_a(x) = loga (x) – loga (y)

log_a (X^b) = b log_a (x)

log_a (x/y) = log_a (x)

b

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Crescimento Logarítmico 

Tanto na matemática quanto na matemática avançada, o crescimento logarítmico aponta para o mesmo fenômeno de uma função logarítmica de entrada, observando o tamanho ou custo desta função. Atenção: é importante entender que, neste caso, qualquer base logarítmica pode ser usada, uma vez que uma pode ser convertida em outra, ao multiplicarmos por uma constante fixa.

Ficou mais fácil entender o que é logaritmo e tudo o que ele envolve? Continue a se preparar para o ENEM: ingresse no Stoodi e veja como arrasar na prova!