[APRENDA FÁCIL] Progressão Aritmética: o que é e como calcular

Progressão Aritmética é como chamamos as sequências de números onde a diferença (um subtraído do outro) entre dois números consecutivos é sempre a mesma em qualquer parte da sequência. Um exemplo seria a contagem de números de 1 a 10 – todos possuem diferença de 1 entre um e o outro.

Saber fazer a análise de PA é conhecimento básico da aritmética. No entanto, fixar o conhecimento, como se faz com qualquer conteúdo de matemática, demanda estudo e reestudo, com leitura, prática e exemplos de PA.

No texto abaixo, você aprenderá o que é Progressão Aritmética (PA), Progressão Geométrica (para comparação), as Propriedades de PA e tudo o que precisa saber para ir bem nas provas escolares e de ingresso na universidade.

Faça uma boa leitura e avance nos seus estudos de PA

Fundamentos de Progressão Aritmética

Os fundamentos e conceitos básicos de PA envolvem sua definição, seus elementos, tipos, fórmulas e outros conceitos importantes a serem conhecidos. Se quiser ir bem nos seus exames de matemática e exercícios de PA, confira os textos abaixo.

Você aprenderá a fazer cálculo de PA de uma vez por todas:

Definição de PA na Álgebra

A Progressão Aritmética é uma sequência de números cuja diferença entre qualquer par de números será a mesma a de outro par de números, desde que seja equidistante. Isso é, se você tem uma sequência de números A, B, C e D, há uma diferença comum entre eles. 

Vamos supor essa sequência linear de 4 números então, que vão de número A a número D. Sempre que tirar a diferença entre termos equidistantes, a diferença será igual, logo:

D – C = C – B = B – A, assim como D – B = C – A.

Se você não observar esse padrão dentro de uma sequência numérica, então você não tem uma PA.

Fórmula de PA

A Progressão Aritmética possui diferentes fórmulas para descobrir cada um dos valores envolvidos nas sequências numéricas. Isso é, existe uma fórmula geral e, a partir dela, você faz configurações para descobrir algum valor específico – ainda que a geral costuma servir para todas as situações. 

Esta é a Fórmula Geral de Progressão Aritmética:

a_n​=a₁​+(n−1)⋅r

Onde:

• a_n: n-ésimo termo da PA
• a₁: primeiro termo da PA
• r: razão da PA (diferença entre termos ou razão constante)
• n: posição do termo na sequência

Os termos de uma sequência são os números que compõem a PA. A fórmula de PA também é conhecida como termo geral da PA, pois serve para encontrar qualquer termo, ou seja, qualquer a_n​, sem precisar conhecer os outros termos.

N-ésimo Termo

O n-ésimo termo de uma PA é o número que ocupa a posição n nessas sequências numéricas. N é uma variável, que pode ser substituída pelo número da posição à qual você se refere dentro de uma PA na álgebra. Por exemplo, a_n​ pode se referir ao segundo termo de uma série aritmética progressiva. Nesse caso, a_n​ se torna a_2​.

Se quiser descobrir o n-ésimo termo de uma progressão aritmética, basta usar a fórmula de PA substituindo N pelo número referente à posição que o termo ocupa. Como eu disse no parágrafo anterior, segundo termo, n = 2, por exemplo.

Então, vamos supor que você tem a seguinte PA e você precisa descobrir qual é o décimo termo dela:

(3, 6, 9, …, 300)

A razão dessa sequência (explico no próximo tópico o que é e como descobrir a razão de PA) é 3.

Aplicamos a fórmula:

a_n​=a₁​+(n−1)⋅r

E já sabemos que:

• a_n: n-ésimo termo da PA
• a₁: primeiro termo da PA
• r: razão da PA (diferença entre termos ou razão constante)
• n: posição do termo na sequência

E, na PA exemplo (3, 6, 9, …, 300), onde queremos descobrir o n-ésimo termo 10, temos:

• a₁₀: décimo termo da PA
• a₁: 3
• r: 3
• n: 10

Usando o que acabamos de aprender sobre teoria de PA e sequência de álgebra linear:

• a_10​=3​+(10−1)⋅3
• a_10​=3​+9⋅3
• a_10​=3​+27
• a_10​=30

Agora, vamos conferir se é verdade?

Sabemos que a₁= 3 e que aumenta em 3 em 3 (razão de PA = 3), logo:

1. a₁ = 3
2. a₂ = 6
3. a₃ = 9
4. a₄ = 12
5. a₅ = 15
6. a₆ = 18
7. a₇ = 21
8. a₈ = 24
9. a₉ = 27
10. a₁₀ = 30

De fato, o décimo termo dessa PA é 10!

Razão de PA

Razão de PA é o valor de diferença entre dois termos consecutivos dentro de uma série aritmética. Isso é, nas sequências e séries do tipo PA a razão é constante e, como exemplo, podemos considerar 3 diferentes sequências aritméticas:

Exemplo 1: (1, 2, 3, …, 5)

Você não precisa de funções matemáticas complexas para descobrir a razão de PA. É só subtrair um termo seguido do outro. 2-1 = 1, 3 – 2 = 1, etc. Logo, a razão de PA desse exemplo é de 1.

Exemplo 2: (5, 10, 15, …, …, 30)

Aqui, tu tens uma diferença de 5 entre cada termo. É fácil encontrar a razão nas progressões na matemática de tipo aritmética. Se você tirar a diferença entre dois termos seguidos, pronto, já tem o valor.

Exemplo 3 : (9, …, …, …, 81)

Dessa vez eu trouxe um exemplo em que só temos dois dos termos da PA. O primeiro e o n-ésimo que é o quinto, que nesse caso é o último, mas não precisa ter. É que quero ensinar você a descobrir a razão da PA. 

Vamos lembrar a fórmula geral da PA:

a_n​=a₁​+(n−1)⋅r

Onde:

• a_n: n-ésimo termo da PA
• a₁: primeiro termo da PA
• r: razão da PA (diferença entre termos ou razão constante)
• n: posição do termo na sequência

E nós sabemos, para esse exemplo, que:

• a₅ = quinto (n-ésimo) termo da PA = 81
• a₁ = primeiro termo da PA = 9
• r = razão da PA que não conhecemos
• n = posição do termo na sequência = 5

Que na fórmula fica:

• 81 = 9​+(5−1)⋅r
• 81 = 9​+4r
• 4r = 81-9
• 4r = 72
• r = 72/4
• r = 18

Soma de Termos de PA

O ensino de matemática da PA no Ensino Médio e o que é cobrado de PA em Exames envolve saber encontrar a soma dos termos de PA, um conhecimento importante na aplicação prática desse conhecimento – como você verá mais adiante.

Vamos começar pela fórmula de soma de PA:

S_n​=n/2​⋅(a₁+a_n​)

Onde:

• S_n: soma dos termos da PA
• a_n: n-ésimo termo da PA
• a₁: primeiro termo da PA
• n: posição do termo na sequência até onde quer somar os termos, geralmente sendo o último

Você também tem uma versão mais extensa da fórmula da soma dos termos de PA, usando a fórmula do termo geral junto:

S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r]

• S_n: soma dos termos da PA
• a_n: n-ésimo termo da PA
• a₁: primeiro termo da PA
• r = razão da PA
• n: posição do termo na sequência até onde quer somar os termos, geralmente sendo o último

Vamos aplicar a fórmula da soma de termos sequenciais a um dos exemplos que já dei anteriormente, para não precisarmos ir atrás de números novos. 

Exemplo : (9, 27, 45, 63, 81) 

No caso, somei 18 sequencialmente para descobrir a₂ ,a₃ e a₄. 

Para a fórmula S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r], nós temos:

• S_n: soma dos termos da PA
• a₅ = quinto (n-ésimo) termo da PA = 81
• a₁ = primeiro termo da PA = 9
• r = razão da PA = 18
• n = posição do último termo = 5

Aplicando a fórmula S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r]:

• S_n​=5/2​⋅[2⋅9​+(5−1)⋅18]
• S_n​=5/2​⋅[2.9+4⋅18]
• S_n​=5/2​⋅[18​+4⋅18]
• S_n​=5/2​⋅[18​+72]
• S_n​=5/2​⋅90
• S_n​=2,5⋅90
• S_n=225

Vamos conferir se é verdade?

• PA = (9, 27, 45, 63, 81) 
• Soma dos termos da PA = 9 + 27 + 45 + 63 + 81
• Soma dos termos da PA = 36 + 45 + 63 + 81
• Soma dos termos da PA = 81 + 63 + 81
• Soma dos termos da PA = 144 + 81
• Soma dos termos da PA = 225

Exatamente como na fórmula!

Classificação da PA

As progressões aritméticas podem ser classificadas em 3 tipos, conforme a forma que elas progridem – ou seja, dependendo da razão da PA (r). O valor de r pode ser positivo, negativo ou 0, levando a esses três tipos de progressões aritméticas. São elas:

• Progressão Aritmética Crescente: quando a razão da PA é maior do que 0 (r > 0), como no exemplo (1, 2, 3);
• Progressão Aritmética Decrescente: quando a razão da PA é menor do que 0 (r < 0), como no exemplo (3, 2, 1);
• Progressão Aritmética Constante: quando a razão da PA é igual a 0 (r = 0), como no exemplo (3, 3, 3).

Propriedade Fundamental da Progressão Aritmética – Média Aritmética de Termos

Em qualquer Progressão Aritmética, todo termo é equivalente à média aritmética entre os seus termos vizinhos, EXCETO quando estamos falando do primeiro e do último termo. A fórmula que apresenta isso é:

a_n=(a_n-1+a_n+1)/2

Aplicações de PA no Cotidiano

As fórmulas e cálculos de progressão aritmética podem ser aplicadas em diversos desafios práticos do dia a dia. Basta que você tenha uma sequência de valores de r constante, como calcular empréstimos com juros simples ou padrões em jogos.

Resolução de Problemas de PA

Aqui, você confere três questões matemáticas de provas reais que envolvem Progressão Aritmética e como resolvê-las:

Questão de PA do Vestibular da Universidade de Brasília (UNB) – 2022 e sua solução:

Somos governados pelo tempo. Ele controla os eventos da vida e até a nossa existência. Nas palavras do físico John Wheeler, “o tempo é o jeito que a natureza encontrou para não deixar que tudo acontecesse de uma só vez”. Acerca de elementos relativos à medição do tempo, julgue o item seguinte.

Considerem-se dois relógios de tal modo que, a cada hora, um deles atrase 1 minuto e o outro adiante 2 minutos em relação ao horário oficial. Nesse caso, se, em determinado dia, os dois relógios marcarem 12 horas no horário oficial, então, às 18 horas desse mesmo dia, no horário oficial, a média aritmética entre as horas marcadas nos dois relógios será igual a 18:06 h: 

1. Certo
2. Errado

Vamos à solução:

Sabemos que no caso do relógio atrasado, a cada hora passada, ele marca 1 minuto a menos. Das 12h00 às 18h00 se passaram 6 horas. Vamos descobrir o quão atrasado o relógio está no final das 6 horas:

Progressão aritmética de razão 0 (o atraso é o mesmo sempre), de 6 termos, onde a₁ = 1.

Para a fórmula S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r], nós temos:

• S_n: soma dos termos da PA
• a₆ = sexto (n-ésimo) termo da PA = 1
• a₁ = primeiro termo da PA =1
• r = razão da PA = 0
• n = posição do último termo = 6

Aplicando a fórmula: S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r]

• S_n​=6/2​⋅[2⋅1​+(6−1)⋅0]
• S_n​=6/2​⋅[2⋅1​+5⋅0]
• S_n​=6/2​⋅[2​+5⋅0]
• S_n​=6/2​⋅[2​+0]
• S_n​=6/2​⋅2​
• S_n​=3⋅2​
• S_n​=6

No final, ele terá atrasado 6 minutos e o horário marcado será de 17h54min, totalizando 1074 minutos.

Quanto ao caso do relógio adiantado, a cada hora passada, ele marca 2 minutos a mais. Das 12h00 às 18h00 se passaram 6 horas. Vamos descobrir o quão adiantado o relógio está no final das 6 horas:

Para a fórmula S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r], nós temos:

• S_n: soma dos termos da PA
• a₆ = sexto (n-ésimo) termo da PA =2
• a₁ = primeiro termo da PA =2
• r = razão da PA = 0
• n = posição do último termo = 6

Aplicando a fórmula: S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r]

• S_n​=6/2​⋅[2⋅2​+(6−1)⋅0]
• S_n​=6/2​⋅[2⋅2​+5⋅0]
• S_n​=6/2​⋅[2⋅2​+0]
• S_n​=6/2​⋅[4+0]
• S_n​=6/2​⋅4
• S_n​=3​⋅4
• S_n​=12

Logo, se passaram 12 minutos a mais, nos entregando um horário de 18h12min, que significam 1092 minutos.

Média:

(1074+1092)/2 = 1083 minutos

Em horas, 1083 são 18h03min (dividir por 60 e o resto são os minutos). A alternativa certa é  B, “Errado”.

Questão de PA do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) – 2021 e sua solução:

Se S =–1+2–3+4–5+6–7+ …. +98–99+100, então, o valor de S é igual a:

1. 55
2. 60
3. 50
4. 45

Aqui temos uma “pegadinha”. Não parece uma PA por ter uma soma e uma subtração em seguida. Agora, você pode entender que todos os termos que estão se somando são, na verdade, um termo só. Ou seja, -1+2 é um termo, -3+4 é outro, -5+6 outro.

Com isso dado, saberemos todos os termos, pois ficará assim:

S =1+1+1+1+ …. +1+1

Tínhamos 100 números, mas como somamos os pares, as duplas, reduzimos para 50 termos. Isso significa que o último 1 é a_n. Por ser uma sequência de 50 números 1, já teríamos que a resposta é 50, mas vamos aplicar a fórmula da Soma de Termos para quando tiver uma questão diferente. Lembrando que r é 0, já que todos os números são 1.

Aplicando a fórmula: S_n​=n/2​⋅[2⋅a₁​+(n−1)⋅r]

• S₅₀​=50/2​⋅[2⋅1​+(50−1)⋅0]
• S₅₀​=50/2​⋅[2⋅1​+49⋅0]
• S₅₀​=50/2​⋅[2​+49⋅0]
• S₅₀​=50/2​⋅[2​+0]
• S₅₀​=50/2​⋅2
• S₅₀​=25⋅2
• S₅₀​=50

A resposta certa é a alternativa C, 50.

Questão de PA do Vestibular da Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro (CEDERJ) – 2021.2 e sua solução:

A sequência (2x+3, 3x+4, 4x+5, …) é uma progressão aritmética de razão 6. O quarto termo dessa progressão é

1. 31
2. 33
3. 35
4. 37

Essa questão assusta por conta das equações com incógnitas, mas se você fizer com calma, encontrará a resposta facilmente – e nem precisa das alternativas. 

Você consegue observar que, nessa PA, a cada número na sequência, aumenta-se 1x e soma-se +1. Com o terceiro termo sendo 4x+5, o quarto termo é 5x+6, só que a questão não quer a equação, quer o valor real.

Se a razão é 6, podemos usar quaisquer 2 termos para descobrir o valor de x, como no caso de a₁​ e a₂, que são, respectivamente, 2x+3 e 3x+4.

• (3x+4)-(2x+3)=6
• 3x+4-2x-3=6
• 3x-2x+4-3=6
• x+1=6
• x=6-1
• x=5

Já que sabemos que a₄=5x+6 e que x = 5, podemos calcular assim:

•  a₄=5x+6
•  a₄=5*5+6
•  a₄=25+6
•  a₄=31

Alternativa correta a, 31.

PA em Competições Matemáticas

A Progressão Aritmética é utilizada em competições matemáticas para testar os alunos nas suas capacidades matemáticas e de raciocínio. Só que nem sempre as questões virão de forma simples como “encontre r” – geralmente, terão algum contexto de PA e aplicações, onde você terá que encontrar informações como a soma de termos sequenciais em uma questão maior.

As questões de vestibular acima são um exemplo. Elas perguntam informações da PA que envolvem mais do que simplesmente aplicar as fórmulas. Não basta decorar teorema fundamental do cálculo, você precisa saber relacionar a outras.

Aqui está um exemplo de questão de Progressão Aritmética em Competições Matemáticas:

Portal da Matemática – OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas:

Exercício 1: Uma progressão aritmética, costumeiramente chamada de P.A., é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com um valor fixo chamado de diferença comum (simbolizado pela letra d) ou razão da progressão (destacado como r). Por exemplo, a sequência abaixo é uma progressão aritmética com termo inicial 3 e diferença comum 4.

a1 = 3, a2 = 7, a3 = 11, a4 = 15, a5 = 19, a6 = 23, a7 = 27, a8 = 31, a9 = 35, …

Veja que estamos denotando o número da posição i pelo símbolo ai.

a) Se o primeiro termo de uma progressão aritmética é 2 e sua diferença comum é 3, qual é o valor do quarto termo?

b) Qual o valor da razão de uma P.A. cujo primeiro termo é -3 e o quinto termo vale 17?

c) Na progressão aritmética (…, 3, 15, 27, 39, 51,…), sabe-se que a36 = 231. Observando a posição do termo ay = 27, qual o valor de y?

d) A professora de João pediu que ele calculasse o décimo primeiro termo de uma progressão aritmética. Infelizmente esqueceu qual era o termo inicial e a diferença comum. As únicas informações das quais ele lembrava eram:

a4 + a7 + a10 = 207

a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 553

Quanto vale o décimo primeiro termo?

Soluções

Para resolver as questões, precisamos usar a fórmula geral de uma Progressão Aritmética (P.A.):

Fórmula geral da PA:

a_n​=a₁​+(n−1)⋅r

Onde:

• a_n: n-ésimo termo da PA
• a₁: primeiro termo da PA
• r: razão da PA (diferença entre termos ou razão constante)
• n: posição do termo na sequência

a) Se o primeiro termo de uma P.A. é 2 e sua diferença comum é 3, qual é o valor do quarto termo?

Aqui, temos:

• a_n: quarto termo
• a₁: 2
• r: 3
• n: 4

Aplicando a fórmula a_n​=a₁​+(n−1)⋅r:

• a₄=2​+(4−1)⋅3
• a₄=2​+3⋅3
• a₄=2​+9
• a₄=11

Resposta: o quarto termo é 11.

b) Qual o valor da razão de uma P.A. cujo primeiro termo é -3 e o quinto termo vale 17?

Desta vez, temos:

• a₅: 17
• a₁: -3
• r: razão desconhecida
• n: 5

Aplicando a fórmula a_n​=a₁​+(n−1)⋅r:

• 17=-3​+(5−1)⋅r
• 17=-3​+4⋅r
• 17=-3​+4r
• 4r=17+3
• 4r=20
• r=20/4
• r=5

A razão é 5.

c) Na P.A. (…, 3, 15, 27, 39, 51,…), sabe-se que a₃₆=231. Observando a posição do termo a_y=27, qual o valor de y?

Desta vez, o que recebemos:

• a₃₆: trigésimo sexto termo, 231
• a₁: não conhecemos
• a_y: 27
• r: 12 (basta fazermos a subtração entre os números apresentados)
• y: não conhecemos

Vamos ter que aplicar duas vezes a fórmula a_n​=a₁​+(n−1)⋅r, para descobrir a₁ e depois y:

• 231_​=a₁​+(36−1)⋅12
• 231_​=a₁​+35⋅12
• 231_​=a₁​+420
• a₁​=231-420
• a₁​=-189

Agora, vamos descobrir y, com a mesma fórmula, considerando o valor de a_y, que é 27:

• 27=-189+(y−1)⋅12
• 27=-189+12y−12
• 27=−201+12y
• 12y=201+27
• 12y=228
• y=228/12
• y=19

Resposta: y equivale a 19.

d) A professora de João pediu que ele calculasse o décimo primeiro termo de uma progressão aritmética. Infelizmente esqueceu qual era o termo inicial e a diferença comum. As únicas informações das quais ele lembrava eram:

a₄ + a₇ + a₁₀ = 207

a₅ + a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁ = 553

Quanto vale o décimo primeiro termo?

Vamos começar repensando as informações que temos. Sabemos que existe uma razão r, que desconhecemos, e que os termos são sempre a soma do a₁ a n-1 vezes a razão. Por exemplo:

a₄ = a₁ + 3*r

Em a₄ + a₇ + a₁₀ = 207, temos:

(a₁ + 3*r)+(a₁ + 6*r)+(a₁ + 9*r) = 207

Em a₅ + a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁ = 553, temos:

(a₁ + 4*r)+(a₁ + 5*r)+(a₁ + 6*r)+(a₁ + 7*r)+(a₁ + 8*r)+(a₁ + 9*r)+(a₁ + 10*r) = 553

Agora, vamos realizar 3 equações:

Primeira equação:

• (a₁ + 3*r)+(a₁ + 6*r)+(a₁ + 9*r) = 207
• 3a₁ + 18*r = 207

Vamos simplificar

• 3a₁ + 18r = 207
• 3a₁=207-18r
• a₁=207/3-18r/3
• a₁=69-6r

Segunda equação:

• (a₁ + 4*r)+(a₁ + 5*r)+(a₁ + 6*r)+(a₁ + 7*r)+(a₁ + 8*r)+(a₁ + 9*r)+(a₁ + 10*r) = 553
• 7a₁+49r=553

Vamos simplificar

• 7a₁+49r=553
• 7a₁=553-49r
• a₁=553/7-49r/7
• a₁=79-7r

Terceira equação:

Consideramos que temos que a₁+6r=69 e a₁+7r=79, podemos descobrir r ao subtrair um do outro:

• (a₁+7r)-(a₁+6r)=79-69
• (a₁+7r)-(a₁+6r)=10
• a₁+7r-a₁-6r=10
• a₁-a₁+7r-6r=10
• 7r-6r=10
• r=10

Só que ainda não temos o que queremos, que é a₁₁. Precisamos descobrir o valor de a₁ com uma das equações que tínhamos:

• a₁=69-6r
• a₁=69-60
• a₁=9

Agora, aplicando a fórmula geral:

 a_n​=a₁​+(n−1)⋅r

•  a_11​=9​+(11−1)⋅10
•  a_11​=9​+10⋅10
•  a_11​=9​+100
•  a_11​=109

Resposta  a_11​=109.

Diferenças entre PA e PG

A progressão aritmética é uma escala em que a diferença entre os números é constante e os termos variam com uma mesma soma ou subtração que se repete em toda sequência. A progressão geométrica acontece com multiplicação ou divisão, com a razão sendo um multiplicador ou divisor.

Veja exemplos de progressão aritmética e progressão geométrica com o mesmo a₁ (3), mesma razão (2) e mesma quantidade de termos (4):

• PA |  a_1​ = 3  | r = 2 | n = 4
  • (3, 5, 7, 9)
• PG |  a_1​ = 3  | r = 2 | n = 4
  • (3, 6, 12, 24)

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História da Progressão Aritmética

O estudo e a história da progressão aritmética tem milênios e se desenvolveu em várias sociedades. A pessoa que usamos de referência hoje é o matemático alemão Carl Friedrich Gauss, que trouxe grande contribuição para o estudo da PA e dos números em geral. O estudioso é conhecido pela frase:

“A matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha da matemática.” Traduzido do alemão Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.

Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas ainda criança.

PA em Contextos Reais

Os contextos reais de aplicação da progressão aritmética são variados. Nas suas economias pessoais, o PA usada na matemática financeira pode ajudar a calcular parcelas de uma dívida que diminuir em valor fixo a cada parcela, ou a depreciação de um bem que aconteça em taxa fixa.

Na construção civil, o aumento ou diminuição de altura e comprimento dos degraus de uma escada acontece em PA de razão constante. A mesma ideia serve para tijolos colocados em fileiras de aumento constante, como pirâmides e degraus decorativos.

Além dessas, há diversas outras aplicações práticas.

Estratégias de Ensino de PA

As estratégias de Ensino de Progressão Aritmética são as básicas do conhecimento de ensino médio de matemática. Você precisa apresentar as explicações teóricas aliadas a aplicações práticas e exercícios para gravar, dentro da sua estratégia e metodologia de ensino.

PA em Testes Padronizados

A progressão aritmética é comumente cobrada em testes padronizados como ENEM, vestibular e outros exames de ingresso universitário ou avaliação de alunos da escola. Também é encontrada em concursos públicos e, por tanto, faz sentido manter-se estudando constantemente.

Avanços no Estudo de Sequências

O estudo de sequências matemáticas mantém-se ativo, porém a Progressão Aritmética em si não oferece muito espaço para mais evoluções. Seus desenvolvimentos geralmente estão relacionados a entender outros fenômenos científicos e matemáticos, não da PA em si.

PA e Análise Numérica

A progressão aritmética (PA) e a análise numérica estão super relacionadas em diversos aspectos. Ambas lidam com sequências, aproximações e padrões numéricos. Logo, há contextos em que são encontradas juntas, como no caso de:

Interpolação Linear

Cálculo matemático utilizado para a aproximar valores de uma função entre dois pontos conhecidos. Exemplo: Se queremos aproximar um valor y e x entre (x1, y1) e (x2, y2), usamos a fórmula da interpolação linear, que é um crescimento linear, como o de uma P.A.

Métodos Iterativos

Diversos tipos de métodos numéricos podem gerar sequências de padrão de P.A. para iterar suas soluções. Um exemplo é o método de Newton-Raphson, utilizado para encontrar as raízes de uma função diferenciável.

PA em Cenários Econômicos

A Progressão Aritmética pode ser aplicada em diversos cenários econômicos. O mais comum é o cálculo de parcelas de pagamentos cujas variações sejam constantes. Ou seja, valores que diminuem, se mantêm, ou aumentam sempre com a mesma adição ou subtração.

PA e Lógica Matemática

É muito comum que provas de lógica matemática utilizem questões de progressão aritmética. Acontece que nesses momentos o que está sendo testado é sua capacidade de entender a questão e como chegar na solução, não apenas memorização e aplicação de fórmulas de PA.

Tecnologia no Ensino de PA

O uso da tecnologia no ensino de Progressão Aritmética pode trazer diversos benefícios para o professor e para o estudante. Entre as ferramentas possíveis, estão os bancos digitais de provas e questões, que facilitam a distribuição de exercícios e acompanhamento de resultados. 

A Stoodi oferece um banco de provas para você exercitar seus conhecimentos, assim como monitoria de professores de alta qualificação. Confira o intensivo Stoodi agora! 

Métodos Interativos de Aprender PA

Uma das formas mais eficientes e interativas de aprender sobre Progressão Aritmética, Progressão Geométrica Números Complexos, Análise Combinatória, e outros conteúdos matemáticos importantes é através de plataformas digitais de ensino avançadas.

Um bom exemplo é o intensivo da Stoodi. Nele, você acessa questões de diferentes provas de Enem e Vestibular, conta com a ajuda de materiais didáticos e professores super eficientes, descobre sobre além de PA e Aplicações.

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PA e seu Papel na Ciência

O estudo de progressão aritmética, assim como o de progressão geométrica, é fundamental para a ciência. É muito comum encontrar na natureza e na sociedade humana sequências de números que respeitam certos padrões.

A sequência de fibonacci é uma das mais famosas. Descoberta por Leonardo de Pisa Fibonacci, é uma PG que está presente em diversas formas geométricas da natureza. Da concha de caracóis a posição de astros.

Claro, você quer saber de PA, pois o artigo é sobre isso. Saiba que a Progressão Aritmética também pode ser encontrada na natureza. O crescimento de plantas e árvores podem ser descritos por PAs, conforme as condições, por exemplo.

Desafios em PA

Confira algumas questões de desafio de Progressão Aritmética

Desafio 1

(Ita) O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, -5n, 1 – 4n uma progressão aritmética pertence ao intervalo

a)[-2,-1].

b)[-1,0].

c)[0,1]

d)[1,2].

e)[2,3].

Desafio 2

(URCA/2022.2) Considere a função afim f(x) = 2x − 3 e a progressão aritmética (α1, α2, α3, . . . , α50) de razão r =1/7 e primeiro termo α1 = 3. A soma

f(α1) + f(α2) + f(α3) + · · · + f(α50)

é igual a

1. 200
2. 300
3. 400
4. 500
5. 600

Desafio 3

(PUC-RS, 2022.1, MEDICINA) Uma escola de preparação para concursos públicos contratou uma empresa de marketing digital para divulgar seus cursos. Um dos cursos oferecidos tinha capacidade para atender 15.000 alunos. No primeiro dia de matrícula desse curso, 180 alunos se inscreveram; no segundo dia, 240; no terceiro dia, 300, e, assim, sucessivamente, sempre aumentando 60 alunos inscritos a cada dia.

Qual é o número mínimo de dias para atingir 15.000 alunos inscritos?

1. 12
2. 15
3. 18
4. 20

As respostas para os desafios podem ser encontradas no banco de provas da Stoodi. Confira o intensivo Stoodi agora.

PA em Exercícios Práticos

Exercite o que você aprendeu sobre Progressão Aritmética através dos exercícios abaixo. Se precisar, releia o texto e os exemplos apresentados.

Exercício 1 – Enem de 2012

Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é

a) 21.

b) 24.

c) 26.

d) 28.

e) 31.

Solução:

Sabemos que cada uma das colunas tem uma carta a mais do que a anterior, que o primeiro termo é 1 e que o último é 7. Logo, só precisamos aplicar a fórmula de soma de termos de uma PA:

• Sn = [(a₁ + a_n). n]/2
• S₇ = [(a₁ + a₇). 7]/2
• S₇ = [(1 + 7). 7]/2
• S₇ = [(1 + 7). 7]/2
• S₇ = [8 . 7]/2
• S₇ = [56]/2
• S₇ = 28

Se há 28 cartas nas fileiras e 52 no baralho, podemos descobrir que no monte tem 24 cartas (52-28) e que a alternativa correta é a B.

Saiba como se preparar para o próximo ENEM.

Exercício 2 – Enem de 2011

O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

a) 38.000

b) 40.500

c) 41.000

d) 42.000

e) 48.000

Perceba que as quantidades de passagens vendidas estão em uma sequência numérica de progressão aritmética. O a₁, janeiro, tem valor de 33.000, enquanto a₂, fevereiro, equivale a 34.500, com março, a₃, é 36.000.

Queremos descobrir o valor de julho, que é o mês 7, portanto a₇. A razão, que podemos ver subtraindo a₁ de a₂, é 1.500. Logo, basta usarmos a fórmula:

Fórmula Geral de Progressão Aritmética:

a_n​=a₁​+(n−1)⋅r

Onde:

• a_n: n-ésimo termo da PA
• a₁: primeiro termo da PA
• r: razão da PA (diferença entre termos ou razão constante)
• n: posição do termo na sequência

Aplicando:

• a_7​=33.000​+(7−1)*1500
• a₇ = 33.000 + 6*1.500
• a₇ = 33.000 + 9.000
• a₇ = 42.000

Ou seja, a resposta correta é a alternativa e, 48.000.

Exercício 3 – Vestibular da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)

Em uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a posição ocupada pelo elemento – 13 é:

a) 8ª

b) 7ª

c) 6ª

d) 5ª

e) 4ª

SOLUÇÃO: A resposta do exercício 3 pode ser encontrada no banco de provas da Stoodi. Confira o intensivo Stoodi agora.

Exercício 4 – Enem de 2018

A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em…

(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros dela, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça. Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é:

A) R$512.000

B) R$520.000

C) R$528.000

D) R$552.000

E) R$584.000

SOLUÇÃO: A resposta do exercício 4 pode ser encontrada no banco de provas da Stoodi. Confira o intensivo Stoodi agora.

Veja também: com o Stoodi, aprenda a fazer equações de 2º grau!

Curiosidades Matemáticas sobre PA

• PA e Arte: o famoso compositor Johann Sebastian Bach usava sequências aritméticas e geométricas em suas composições para garantir músicas matematicamente harmoniosas;
• PA e Natureza: a distribuição de folhas em algumas espécies de plantas segue progressões aritméticas para garantir a maximização da absorção de luz solar;
• PA e Entretenimento: é comum o desenvolvimento de quebra-cabeças matemáticos usando progressões como a aritmética e a geométrica para criar jogos de lógica e raciocínio desafiadores.

PA e Programação

A progressão aritmética é utilizada na programação para gerenciar e manipular sequências de números. Também é possível trabalhar com PA ao operar com os loops “for” e “while”. Por fim, algoritmos, gráficos, visualizações e análise de dados usam bastante programação aritmética.