Trigonometria: Aprenda de um jeito rápido para arrasar na prova

Entre as matérias de Matemática que mais caem na prova do Enem, temos a trigonometria, que se trata, segundo dicionário Priberam, da “Parte da matemática que ensina a medir os lados e os ângulos dos triângulos.” É uma área da geometria plana.

O estudo da trigonometria é fundamental para conhecimentos como engenharia, arquitetura, física, astronomia, química, medicina, cosmologia, matemática, estatísticas, entre outros. É um dos pilares do saber humano que nos permitiu chegar onde estamos hoje.

A origem trigonométrica remete aos gregos e egípcios, quando falamos da sociedade ocidental, que utilizavam seus cálculos nas navegações e na astronomia. No artigo abaixo, você saberá tudo o que precisa saber sobre esse conhecimento dentro do interesse de um estudante do ensino médio.

Fundamentos da trigonometria

A teoria trigonométrica, os calculos geométricos envolvidos, as fórmulas para ângulos e suas medidas e tudo que envolve a trigonometria básica se sustenta em 4 conceitos pilares. São eles “ângulo”, “triângulo”, “lado de um triângulo” e “relação trigonométrica”.

Você confere abaixo a explicação de cada um e entender bem os fundamentos trigonométricos ajudará você a encontrar a solução de triângulos e as medidas de ângulos, seja em matemática avançada ou básica:

• Triângulo: Polígono com três lados e três ângulos.
• Ângulo: Medida da abertura entre duas semirretas que têm o mesmo ponto inicial;
• Lado: Segmentos/retas que compõem o triângulo, sendo três.
• Relações trigonométricas: São as fórmulas de trigonometria, utilizada na análise de triângulos e as relações entre lados, arcos e ângulos, a álgebra trigonométrica, etc. 

Ensino de matemática e trigonometria

O ensino da trigonometria pode ser visto nas escolas desde o ensino fundamental, conforme a instituição. Só que sabemos que muitas vezes os métodos de ensino de trigonometria na escola clássica não contemplam a realidade do aluno. E mesmo que se sua escola seja ótima, é importante ter um reforço forte quando se preparar para o Enem ou Vestibular, pois trigonometria não é fácil. Você dificilmente vai absorver o conhecimento de todas as propriedades trigonométricas apenas com o que você estuda na escola.

Uma forma de se preparar de verdade para os problemas trigonométricos presentes nas provas de acesso ao Ensino Superior é através de intensivões de estudos na modalidade de ensino à distância. Sem gastar tempo de deslocamento, que você já usa indo à escola normal, pode estudar em casa, no seu tempo, no conforto do quarto ou sala e aprender tudo sobre a geometria trigonométrica, as equações trigonométricas, as leis dos senos e cossenos com menor dificuldade.

É por isso que eu te convido para conferir o intensivão da Stoodi: uma oportunidade únida de estudos teórico-práticos que realmente te preparam para o que te espera nas provas do Enem e Vestibular. Você aprenderá, além das transformações trigonométricas, tudo sobre matemática, física, química, português e outras matérias cobradas no exame.

Não perca tempo e conheça agora o seu acesso ao conhecimento prático e verdadeiro sobre física e trigonometria para Enem e Vestibular. Vem pro Intensivão Stoodi!

Aplicações práticas da trigonometria

As aplicações da trigonometria são universais e até mesmo no sentido literal da palavra universal. Triângulos estão no nosso universo inteiro e você precisa de fórmulas como o Teorema de Pitágoras para construir réguas escolares, arranha-céus ou estações espaciais.

É impossível um profissional ou pesquisador atuar em qualquer área do conhecimento humano que tenha um mínimo de geometria analítica sem conhecer as funções trigonométricas, as relações métricas no triângulo retângulo e os elementos simples como seno, cosseno, tangente e trigonometria esférica.

Dessa forma, a história da trigonometria mostra que as razões trigonométricas e seus cálculos são muito bem vindos e aplicados em diversas atividades humanas, tais como:

• Cálculo de distâncias e alturas: um matemático que saiba apenas um lado de um triângulo e seus ângulos, consegue descobrir o tamanho dos outros e, com isso, calcular distâncias entre dois pontos;
• Projetos de engenharia: as identidades de ângulos e os gráficos trigonométricos são fundamentais para erguer prédios, pontes e outras obras de engenharia, principalmente da Engenharia Civil, onde o espaço urbano deve ser considerado em detalhes;
• Navegação: a trigonometria ajuda a determinar a posição de navios e aviões, sendo a base das tecnologias mais avançadas que existem hoje;
• Astronomia: a relação entre astronomia e trigonometria é mais antiga do que os foguetes e a descoberta científica de outros planetas, pois os antigos usavam os cálculos e as identidades trigonométricas para calcular a posição dos astros.

História e evolução da trigonometria

A trigonometria teve origem na antiguidade, na civilização babilônica. Os babilônios usavam a trigonometria para calcular o tamanho dos ângulos e das distâncias. No ocidente, foi desenvolvida pelos gregos, que criaram as relações básicas e também a usaram para estudar astronomia e avançar nas navegações.

Ainda, a trigonometria foi aprimorada pelos árabes, que criaram novas fórmulas e tabelas trigonométricas. O que conhecemos hoje como trigonometria moderna foi desenvolvida no século XVI, com o trabalho de matemáticos como Nicolau Copérnico e Johannes Kepler.

Glossários e constantes na trigonometria

Conheça termos, valores, constantes e variáveis comuns nas fórmulas e gráficos trigonométricos, nas identidades de ângulos e lados, funções cíclicas etc:

• Ângulo: É a união de dois segmentos de reta (ou duas semi-retas) orientados a partir de um ponto em comum.
• Ângulo Agudo: Nome dado a ângulos cuja medida vale entre 0º e 90º.
• Ângulo Obtuso: Nome dado a ângulos cuja medida vale entre 90º e 180º.
• Ângulo Raso: Nome dado a ângulos cuja medida vale 180º.
• Ângulo Reto: Nome dado a ângulos cuja medida vale 90º.
• 1º = 60′ e 1′ = 60” (Um grau é equivalente a 60 minutos, e um minuto é equivalente a 60 segundos)
• Cosseno: Em um triângulo com um de seus ângulos internos igual α (alfa) , define-se cos de α como sendo a proporção entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa deste triângulo.
• Grado: Medida equivalente a 1/400 de uma circunferência.
• Grau: Medida equivalente a 1/360 de uma circunferência.
• Radiano: É definido como o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência onde o arco foi determinado. Seu valor aproximado é de 57º.
• Seno: Em um triângulo com um de seus ângulos internos igual α (alfa) , define-se cos de α como sendo a proporção entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa deste triângulo.
• Tangente: É a razão entre seno e cosseno de um ângulo.
• Valor de um π Radianos (Pi Radianos): 180º

Um ângulo cujo valor é igual a 360º completa um círculo. Existem ângulos acima de 360º, porém esses ângulos coincidem com ângulos de menor valor. Exemplo: um ângulo de 460º é equivalente a um ângulo de 100º, pois 460 -360 = 100.

Leis dos senos e cossenos

As relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não se aplicam aos triângulos acutângulos e obtuso. A resolução desses triângulos se dá por meio da Lei dos Senos e dos Cossenos que, por sua vez, é construída com base no Teorema de Pitágoras. 

Lei dos Cossenos 

Também denominada de Teorema dos Cossenos, a Lei dos Cossenos é usada para realizar o cálculo das dos lados e dos ângulos do triângulo, desde que seja dado algum valor. Essa lei é conhecida pelo enunciado:

“O quadrado de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles”.

E sua fórmula é:

• a² = b²+c²-2.b.c.cosA 
• b² = a²+c²-2.a.c.cosB
• c² = a²+b²-2.a.b.cosC

Lei dos senos

A Lei dos senos ou Teorema dos senos indica que a relação entre a medida do lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado será sempre constante.

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é uma ferramenta utilizada para visualizar os ângulos e seus respectivos quadrantes.

No círculo, os ângulos são dispostos de 0 a 360º, – totalizando uma volta completa – e dividido entre quatro quadrantes.

Lembrando que cada um dos quatro quadrantes  de um círculo, possui um ângulo de 90º, visto que representam um quarto da volta completa do círculo.

Metodologias de ensino em trigonometria

Existem diversas metodologias de ensino em trigonometria. Algumas das metodologias mais comuns incluem:

• Abordagem tradicional: A abordagem tradicional usa uma abordagem axiomática para ensinar trigonometria. Os alunos aprendem os conceitos básicos da trigonometria e as relações trigonométricas.
• Abordagem geométrica: A abordagem geométrica usa a geometria para ensinar trigonometria. Os alunos aprendem a aplicar as relações trigonométricas para resolver problemas geométricos.
• Abordagem analítica: A abordagem analítica usa o cálculo para ensinar trigonometria. Os alunos aprendem a usar as relações trigonométricas para resolver problemas analíticos.

Tecnologia na educação de matemática

A tecnologia pode ser uma ferramenta útil para o ensino de matemática, incluindo trigonometria. Existem diversos softwares e aplicativos que podem ser usados para ensinar trigonometria, como:

Softwares educativos: Os softwares educativos podem ser usados para ensinar os conceitos básicos da trigonometria e as relações trigonométricas.

Aplicativos para smartphones: Os aplicativos para smartphones podem ser usados para praticar a resolução de problemas de trigonometria.

Recursos didáticos para trigonometria

Existem diversos recursos didáticos disponíveis para ajudar os alunos a aprender trigonometria. Alguns dos recursos didáticos mais comuns incluem:

• Livros-texto: Os livros-texto são uma fonte importante de informações sobre trigonometria e suas aplicações nas formas geométricas.
• Atividades: As atividades podem ajudar os alunos a praticar os conceitos aprendidos.
• Softwares educativos: Os softwares educativos podem ser usados para aprender os conceitos básicos da trigonometria e as relações trigonométricas.

Fórmulas que precisam ser memorizadas 

A Trigonometria é uma das áreas com mais fórmulas matemáticas. Veja as principais para anotar e ter sempre a mão quando for fazer seus exercícios: 

• Seno — cateto oposto / hipotenusa
• Cosseno — cateto adjacente / hipotenusa
• Tangente — cateto oposto / cateto adjacente
• Teorema de Pitágoras — a2 = b2 + c2
• Relação fundamental da trigonometria — sen² θ + cos² θ = 1
• Soma de arcos — Sen (a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a) | Cos (a + b) = cos(a).cos(b) – sen(a)sen(b) | Tg (a + b) = /.
• Subtração de arcos — Sen (a – b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a) |Cos (a – b) = cos(a).cos(b) + sen(a)sen(b) | Tg (a – b) = /.

Tabela Trigonométrica Completa

Esta tabela apresenta os valores dos ângulos agudos (menores do que 90º) e como ficam os valores das relações trigonométricas conhecidas como seno, cosseno e tangente.

São valores fixos e aprender a fórmula sempre permitirá você encontrá-los mais facilmente do que decorar cada um deles, mas os principais (30º, 45º e 60º) podem ser decorados para otimizar seu tempo de cálculo. 

Tabela Trigonométrica – Principais Ângulos
Ângulos em Graus	Seno	Cosseno	Tangente
30º	1/2	√3/2	√3√3
45º	√2/2	√2/2	1
60º	√3/2	1/2	√3

Tabela Trigonométrica – Completa (Incluindo 90º)
Ângulos em Graus	Seno	Cosseno	Tangente
1°	0,0175	0,9998	0,0175
2°	0,0349	0,9994	0,0349
3°	0,0523	0,9986	0,0524
4°	0,0698	0,9976	0,0699
5°	0,0872	0,9962	0,0875
6°	0,1045	0,9945	0,1051
7°	0,1219	0,9925	0,1228
8°	0,1392	0,9903	0,1405
9°	0,1564	0,9877	0,1584
10°	0,1736	0,9848	0,1763
11°	0,1908	0,9816	0,1944
12°	0,2079	0,9781	0,2126
13°	0,2250	0,9744	0,2309
14°	0,2419	0,9703	0,2493
15°	0,2588	0,9659	0,2679
16°	0,2756	0,9613	0,2867
17°	0,2924	0,9563	0,3057
18°	0,3090	0,9511	0,3249
19°	0,3256	0,9455	0,3443
20°	0,3420	0,9397	0,3640
21°	0,3584	0,9336	0,3839
22°	0,3746	0,9272	0,4040
23°	0,3907	0,9205	0,4245
24°	0,4067	0,9135	0,4452
25°	0,4226	0,9063	0,4663
26°	0,4384	0,8988	0,4877
27°	0,4540	0,8910	0,5095
28°	0,4695	0,8829	0,5317
29°	0,4848	0,8746	0,5543
30°	0,5000	0,8660	0,5774
31°	0,5150	0,8572	0,6009
32°	0,5299	0,8480	0,6249
33°	0,5446	0,8387	0,6494
34°	0,5592	0,8290	0,6745
35°	0,5736	0,8192	0,7002
36°	0,5878	0,8090	0,7265
37°	0,6018	0,7986	0,7536
38°	0,6157	0,7880	0,7813
39°	0,6293	0,7771	0,8098
40°	0,6428	0,7660	0,8391
41°	0,6561	0,7547	0,8693
42°	0,6691	0,7431	0,9004
43°	0,6820	0,7314	0,9325
44°	0,6947	0,7193	0,9657
45°	0,7071	0,7071	1
46°	0,7193	0,6947	1,0355
47°	0,7314	0,6820	1,0724
48°	0,7431	0,6691	1,1106
49°	0,7547	0,6561	1,1504
50°	0,7660	0,6428	1,1918
51°	0,7771	0,6293	1,2349
52°	0,7880	0,6157	1,2799
53°	0,7986	0,6018	1,3270
54°	0,8090	0,5878	1,3764
55°	0,8192	0,5736	1,4281
56°	0,8290	0,5592	1,4826
57°	0,8387	0,5446	1,5399
58°	0,8480	0,5299	1,6003
59°	0,8572	0,5150	1,6643
60°	0,8660	0,5000	1,7321
61°	0,8746	0,4848	1,8040
62°	0,8829	0,4695	1,8807
63°	0,8910	0,4540	1,9626
64°	0,8988	0,4384	2,0503
65°	0,9063	0,4226	2,1445
66°	0,9135	0,4067	2,2460
67°	0,9205	0,3907	2,3559
68°	0,9272	0,3746	2,4751
69°	0,9336	0,3584	2,6051
70°	0,9397	0,3420	2,7475
71°	0,9455	0,3256	2,9042
72°	0,9511	0,3090	3,0777
73°	0,9563	0,2924	3,2709
74°	0,9613	0,2756	3,4874
75°	0,9659	0,2588	3,7321
76°	0,9703	0,2419	4,0108
77°	0,9744	0,2250	4,3315
78°	0,9781	0,2079	4,7046
79°	0,9816	0,1908	5,1446
80°	0,9848	0,1736	5,6713
81°	0,9877	0,1564	6,3138
82°	0,9903	0,1392	7,1154
83°	0,9925	0,1219	8,1443
84°	0,9945	0,1045	9,5144
85°	0,9962	0,0872	11,4301
86°	0,9976	0,0698	14,3007
87°	0,9986	0,0523	19,0811
88°	0,9994	0,0349	28,6363
89°	0,9998	0,0175	57,2900
90°	1	0	___

Trigonometria e exames nacionais

A trigonometria é um tópico da geometria que dificilmente NÃO é cobrado em exames de ingresso ao Ensino Superior, como Enem e Vestibular. Seus cálculos todos e relações trigonométricas são altamente esperados também em concursos públicos e outras provas de conhecimento matemático.

Como resolver problemas envolvendo razões trigonométricas

Para encontrar lados desconhecidos de um triângulo retângulo, é preciso saber um ângulo e um de seus lados.

1º passo: identificar qual razão trigonométrica deve ser usada.

Para identificar qual razão utilizar, analisamos de qual lado conhecemos o valor e qual queremos descobrir em relação ao ângulo.

Exemplo, se a questão nos deu o valor da hipotenusa e quer que encontremos o valor do cateto adjacente, a razão que relaciona o cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno. 

Utilize esse mesmo raciocínio para identificar se é o seno ou a tangente.

2º passo: aplicar a fórmula da razão trigonométrica que identificamos no passo anterior com os valores dos lados do triângulo.

3º passo: consultar na tabela o valor da razão trigonométrica escolhida para o ângulo de referência e substituir na fórmula.

4º passo: resolver a equação e encontrar o valor desejado.

Como se preparar para estudar Trigonometria? 

Quando o assunto é cálculo trigonométrico, algumas dicas pode fazer a diferença nos estudos:

Faça muitos simulados e resolva muitas questões

Isso mesmo, resolva muitas questões de diferentes simulados sobre o assunto para treinar seus cálculos e não esquecer nenhuma fórmula. 

Na matemática e outras ciências exatas não há nada melhor que muita prática para o aprendizado eficiente. 

Faça os exercícios sempre logo após ver a teoria e revise constantemente todos os exercícios para manter a memória dos cálculos. 

Estude as fórmulas

Decorar é sempre muito difícil, ainda mais em tempos pré Enem, onde tudo parece importante e necessário lembrar para a prova. 

Fórmulas podem parecer ainda mais complicado de lembrar, mas se você mantiver o hábito de estudá-las e entender suas aplicações, você consegue tirar de letra. 

Procure entender o raciocínio por trás de cada fórmula, porque cada item está ali e você verá como fica mais fácil memorizar. 

Mantenha todas as fórmulas sempre por perto

Você pode organizar uma tabela, fazer quadros, fichas, como achar melhor, o importante é que possa visualizá-las com facilidade quando for resolver as questões e simulados. 

Ficar tentando lembrar das fórmulas só fará você perder tempo e energia. Essa cola é do bem e vai auxiliar no processo de estudo e memorização. 

Conte com bons professores 

Nessa hora, bons professores com uma boa didática, são o diferencial no aprendizado. Esse é um assunto que precisa ser ensinado de forma leve para que você possa compreender bem todo o conteúdo. 

Veja também: assista à aula de Trigonometria no Triângulo Retângulo!

O intensivo da Stoodi conta com profissionais super qualificados, com grande experiência na preparação de alunos para o Enem e com certeza é sua melhor opção para aprender não só a trigonometria, como todos os assuntos do exame. 

Comece já a se preparar para conseguir enfrentar todos os tipos de questões no dia da prova do Enem!